Навигация (только номера заданий)
0 из 10 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
Информация
Тестовые задания №18 ОГЭ по математике.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 10
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
- ОГЭ по математике 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 10
1.
1. Дан произвольный треугольник КМР. На его стороне КР отмечена точка С так, что КС = 5, СР = 7. Площадь треугольника КМР составляет 60. Вычислите площадь ∆КМС.
Правильно
Запишем ф-лы для площади ∆КМР и искомого ∆КМС:
Разделим первую ф-лу на вторую. Сократим правую часть полученного уравнения на ½, на КМ (общую сторону треуг-ков) и на общий угол К. Получим:
Поскольку КР = КС + СP = 5 + 7 = 12, то получаем:
SKMC = SКMP · KC / KP = 60 · 5 / 12 = 25 .
Неправильно
Запишем ф-лы для площади ∆КМР и искомого ∆КМС:
Разделим первую ф-лу на вторую. Сократим правую часть полученного уравнения на ½, на КМ (общую сторону треуг-ков) и на общий угол К. Получим:
Поскольку КР = КС + СP = 5 + 7 = 12, то получаем:
SKMC = SКMP · KC / KP = 60 · 5 / 12 = 25 .
Подсказка
Для решения дважды используем ф-лу для площади треугольника (через 2 его стороны и синус угла между ними) для ∆КМР и ∆КМС. В данном случае ф-ла должна использовать: 1) общую для этих треуг-ков сторону КМ; 2) стороны КР и КС соответственно; 3) угол К.
Делим 1-ю формулу на 2-ю. Получаем равенство отношений, из которого находим искомую площадь.
-
Задание 2 из 10
2.
2. Дан треугольник, в который вписана окружность. Радиус этой окружности равен 2, одна из сторон треугольника – 7. Периметр треугольника составляет 33. Вычислите его площадь.
Правильно
Запишем ф-лу для вычисления площади:
S = P · r / 2 .
В ней Р – периметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности.
Обе величины, входящие в эту формулу, в условии известны. Поэтому подставим их и найдем искомую площадь:
S = 33 · 2 / 2 = 33 .
Неправильно
Запишем ф-лу для вычисления площади:
S = P · r / 2 .
В ней Р – периметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности.
Обе величины, входящие в эту формулу, в условии известны. Поэтому подставим их и найдем искомую площадь:
S = 33 · 2 / 2 = 33 .
Подсказка
Для решения следует использовать формулу расчета площади треуг-ка через его периметр и радиус впис.окружности.
Известная сторона треуг-ка (=7) является избыточным данным.
-
Задание 3 из 10
3.
3. Дан параллелограмм АВСЕ, площадь которого равна 180. На стороне АВ отмечена точка М, которая делит ее пополам. Вычислите площадь трапеции ЕАМС.
Правильно
На чертеже проводим дополнит.отрезок – высоту КМ:
Обозначим МК через h.
Отрезок КМ, являясь высотой параллелограмма, является и высотой трапеции ЕАМС.
Поскольку АВСЕ параллелограмм, то ЕС = АВ. Т.к. т.М – середина АВ, то СМ = ВМ и ЕС = 2АВ.
Обозначим АМ через а. Тогда ЕС = 2а.
Площадь АВСЕ равна:
Sп = ЕС · МК
Sп = 2аh
Отсюда:
аh = Sп / 2 = 180 / 2 = 90 (1)
Площадь ЕАМС равна:
SТ = (АМ + АС) · МК / 2
SТ = (а + 2а) · h / 2 = 3аh/2 (2)
Подставим (1) в (2) и вычислим искомую площадь:
ST = 3 · 90 / 2 = 135
Неправильно
На чертеже проводим дополнит.отрезок – высоту КМ:
Обозначим МК через h.
Отрезок КМ, являясь высотой параллелограмма, является и высотой трапеции ЕАМС.
Поскольку АВСЕ параллелограмм, то ЕС = АВ. Т.к. т.М – середина АВ, то СМ = ВМ и ЕС = 2АВ.
Обозначим АМ через а. Тогда ЕС = 2а.
Площадь АВСЕ равна:
Sп = ЕС · МК
Sп = 2аh
Отсюда:
аh = Sп / 2 = 180 / 2 = 90 (1)
Площадь ЕАМС равна:
SТ = (АМ + АС) · МК / 2
SТ = (а + 2а) · h / 2 = 3аh/2 (2)
Подставим (1) в (2) и вычислим искомую площадь:
ST = 3 · 90 / 2 = 135
Подсказка
Проводим в параллелограмме высоту из т.М на СЕ.
Вводим обозначение для сторон АМ и ЕС, а также для высоты. Через эти стороны и высоту записываем ф-лы для площади трапеции и параллелограмма.
Выражаем площадь трапеции через площадь параллелограмма. Вычисляем ее.
-
Задание 4 из 10
4.
4. Дана равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 6. Угол между одним из оснований и боковой стороной составляет 450. Определите площадь такой трапеции.
Правильно
Проведем в трапеции высоту ВС:
Рассм. ∆АВК.
Найдем в нем сторону АК. Поскольку трапеция равнобедренная, то
АК = (AD – BC) : 2 = (6 – 2) : 2 = 2 .
Т.к. ВС высота, то ∆АВК прямоугольный. Тогда можем использовать тригонометрич.функции. В данном случае подходит тангенс:
tg 450 = BK / AК .
Определим отсюда высоту ВК:
ВК = АК · tg 450 = 2 · 1 = 2
Теперь найдем площадь трапеции:
S = (BC + AD) · BK / 2 = (2 + 6) · 2 / 2 = 8 .
Неправильно
Проведем в трапеции высоту ВС:
Рассм. ∆АВК.
Найдем в нем сторону АК. Поскольку трапеция равнобедренная, то
АК = (AD – BC) : 2 = (6 – 2) : 2 = 2 .
Т.к. ВС высота, то ∆АВК прямоугольный. Тогда можем использовать тригонометрич.функции. В данном случае подходит тангенс:
tg 450 = BK / AК .
Определим отсюда высоту ВК:
ВК = АК · tg 450 = 2 · 1 = 2
Теперь найдем площадь трапеции:
S = (BC + AD) · BK / 2 = (2 + 6) · 2 / 2 = 8 .
Подсказка
Проводим в трапеции высоту.
Рассматриваем треугольник, образованный: 1) проведенной высотой: 2) прилежащей к ней бок.стороной; 3) частью нижнего основания, ограниченной основанием высоты.
Определяем часть нижнего основания, вошедшую в рассматриваемый треугольник. Далее определяем величину высоты. Ее можно найти через тангенс угла 450 .
Применяем ф-лу для определения площади трапеции. Вычисляем ее значение.
-
Задание 5 из 10
5.
5. В параллелограмме АВЕМ проведены биссектрисы углов А и В. Биссектрисы пересекаются с точке Р. Расстояние от точки Р до АВ составляет 3, сторона параллелограмма ВЕ равна 11. Вычислите площадь такого параллелограмма.
Правильно
Делаем рисунок. Отмечаем на нем дополнительно высоту КТ:
Рассм. ∆АСР и ∆АТР.
У них общая сторона АР и равные углы САР и ТАР (т.к. по условию АР – биссектриса). Т.к. РС – расстояние до АВ, то РС перпендикулярно АВ. Поскольку КТ – высота, то РТ перпендикулярно АМ. Значит треугольники прямоугольные. Вывод: согласно признаку равенства прямоуг.треугольников по острому углу и гипотенузе, ∆АСР = ∆АТР. А если так, то РТ = РС = 3.
Рассм. ∆РСВ и ∆РКВ.
Здесь ситуация аналогичная, т.е. это прямоугольные треуг-ки, которые равны по острому углу и гипотенузе. Следовательно, РК = РС =3.
Получаем для высоты параллелограмма:
КР = РК + РТ = 3 + 3 =6 .
Находим площадь фигуры:
S = a ·h = BE · KT = 11 ·6 = 66 .
Неправильно
Делаем рисунок. Отмечаем на нем дополнительно высоту КТ:
Рассм. ∆АСР и ∆АТР.
У них общая сторона АР и равные углы САР и ТАР (т.к. по условию АР – биссектриса). Т.к. РС – расстояние до АВ, то РС перпендикулярно АВ. Поскольку КТ – высота, то РТ перпендикулярно АМ. Значит треугольники прямоугольные. Вывод: согласно признаку равенства прямоуг.треугольников по острому углу и гипотенузе, ∆АСР = ∆АТР. А если так, то РТ = РС = 3.
Рассм. ∆РСВ и ∆РКВ.
Здесь ситуация аналогичная, т.е. это прямоугольные треуг-ки, которые равны по острому углу и гипотенузе. Следовательно, РК = РС =3.
Получаем для высоты параллелограмма:
КР = РК + РТ = 3 + 3 =6 .
Находим площадь фигуры:
S = a ·h = BE · KT = 11 ·6 = 66 .
Подсказка
В параллелограмме дополнительно (через т.Р) проводим высоту.
Доказываем равенство треуг-ков, ограниченных расстояниями от т.Р до сторон параллелограмма, частями его сторон, выходящих из т.А, и частью биссектрисы, проведенной из т.А. Отсюда находим часть высоты параллелограмма (ниже т.Р).
Аналогично определяем часть высоты параллелограмма выше т.Р.
Находим высоту как сумму ее частей, на которые она разделяется точкой Р.
Вычисляем площадь как произведение высоты на сторону ВЕ.
-
Задание 6 из 10
6.
6. Дан квадрата, периметр которого равен 180. Вычислите его площадь.
Правильно
Периметр квадрата определяется так:
Р = 4а ,
где а – сторона.
Выразим из этой формулы сторону и вычислим ее:
a = Р : 4 = 180 : 4 = 45 .
Площадь квадрата:
S = a2 .
Найдем площадь:
S = 452 = 2025 .
Неправильно
Периметр квадрата определяется так:
Р = 4а ,
где а – сторона.
Выразим из этой формулы сторону и вычислим ее:
a = Р : 4 = 180 : 4 = 45 .
Площадь квадрата:
S = a2 .
Найдем площадь:
S = 452 = 2025 .
Подсказка
Зная периметр, определяем его сторону. Для этого периметр делим на 4.
Взводим сторону в квадрат – находим искомую площадь.
-
Задание 7 из 10
7.
7. Дан ромб, периметр которого составляет 36, а один из его углов – 300. Вычислите площадь такого ромба.
Правильно
Т.к наша фигура ромб, то у нее все стороны равны. Значит, имеем для периметра:
Р = 4а ,
где а – сторона.
Найдем сторону:
а = Р : 4 = 36 : 4 = 9 .
Т.к. ромб – то параллелограмм, то для вычисления площади может использовать общую ф-лу для площади параллелограмма:
S = a · b · sin α .
В нашем случае a = b, поэтому
S = 9 · 9 · sin 300 = 81 · ½ = 40,5 .
Неправильно
Т.к наша фигура ромб, то у нее все стороны равны. Значит, имеем для периметра:
Р = 4а ,
где а – сторона.
Найдем сторону:
а = Р : 4 = 36 : 4 = 9 .
Т.к. ромб – то параллелограмм, то для вычисления площади может использовать общую ф-лу для площади параллелограмма:
S = a · b · sin α .
В нашем случае a = b, поэтому
S = 9 · 9 · sin 300 = 81 · ½ = 40,5 .
Подсказка
Зная периметр фигуры, находим сторону (периметр делим на 4).
Определяем площадь по ф-ле для площади параллелограмма – через 2 соседние стороны и угол между ними.
-
Задание 8 из 10
8.
8. Дан прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Вычислите его площадь.
Правильно
Обозначим катеты треуг-ка через a и b:
Поскольку треугольник прямоугольный, то
S = a · b / 2 .
Найдем искомую площадь:
S = 3 · 4 / 2 = 6 .
Неправильно
Обозначим катеты треуг-ка через a и b:
Поскольку треугольник прямоугольный, то
S = a · b / 2 .
Найдем искомую площадь:
S = 3 · 4 / 2 = 6 .
Подсказка
При решении используем ф-лу для расчета площади именно в прямоуг.треугольнике, т.е. через его катеты.
-
Задание 9 из 10
9.
9. Дан треугольник КМР, площадь которого составляет 121. Параллельно его стороне КР проведена прямая, которая пересекает его сторону АМ в точке А, а сторону МР – в точке С. Известно, что КР равно 44, АС равно 24. Вычислите площадь треугольника АМС.
Правильно
Рассм. ∆АМС и ∆КМР.
Если АС || КР, то углы МКР и МАС равны, а также углы МСА и МРК равны. Их равенство основано на том, что эти пары углов являются внутренними односторонними. Угол М у треугольников общий. Итак, все углы у них равны. Следовательно, ∆АМС и ∆КМР подобны.
Если эти треугольники подобны, то их стороны АС и КР пропорциональны. Тогда имеем:
k = КР / АС = 44 / 24 = 11/6.
С другой стороны, если эти треугольники подобны, то:
SKMP / SAMC = k2.
Отсюда выразим искомую SAMC и вычислим ее:
SAMC = SKMP / k2 → SAMC = 121 / (11/6)2 = 121 / (121/36) = 121 / 121 · 36 = 36.
Неправильно
Рассм. ∆АМС и ∆КМР.
Если АС || КР, то углы МКР и МАС равны, а также углы МСА и МРК равны. Их равенство основано на том, что эти пары углов являются внутренними односторонними. Угол М у треугольников общий. Итак, все углы у них равны. Следовательно, ∆АМС и ∆КМР подобны.
Если эти треугольники подобны, то их стороны АС и КР пропорциональны. Тогда имеем:
k = КР / АС = 44 / 24 = 11/6.
С другой стороны, если эти треугольники подобны, то:
SKMP / SAMC = k2.
Отсюда выразим искомую SAMC и вычислим ее:
SAMC = SKMP / k2 → SAMC = 121 / (11/6)2 = 121 / (121/36) = 121 / 121 · 36 = 36.
Подсказка
Доказываем, что ∆АМС подобен ∆КМР.
Используем св-во подобия о том, что все элементы подобных треуг-ков пропорциональны. Исходя из этого, определяем коэф-т подобия как отношение соответствующих сторон (известных по условию).
Используя св-во подобия о том, что отношение площадей треуг-ков равно коэффициенту подобия в квадрате, находим искомую площадь.
-
Задание 10 из 10
10.
10. Дан круг, площадь которого составляет 90. В круге выделен сектор, ограниченный центральным углом величиной 600. Вычислите площадь такого сектора.
Правильно
Имеется ф-ла для вычисления площади сектора, если известны площадь полного круга и величина центр.угла, которым этот сектор ограничен:
SC = SO · n0 / 3600 ,
где SC – площадь сектора, SO – площадь всего круга.
Все данные, необходимые для вычисления по этой ф-ле, в условии даны. Поэтому найдем искомую величину площади:
SC = 90 ·600 / 3600 = 15 .
Неправильно
Имеется ф-ла для вычисления площади сектора, если известны площадь полного круга и величина центр.угла, которым этот сектор ограничен:
SC = SO · n0 / 3600 ,
где SC – площадь сектора, SO – площадь всего круга.
Все данные, необходимые для вычисления по этой ф-ле, в условии даны. Поэтому найдем искомую величину площади:
SC = 90 ·600 / 3600 = 15 .
Подсказка
Записываем формулу для расчета искомой площади, исходя из данных, приведенных в условии, – т.е. через площадь всего круга и величину центр.угла, на котором построен сектор.
Вычисляем числовое значение по этой формуле.
