Задание №14 ЕГЭ по математике базовый уровень


Графики функций


В задании №13 ЕГЭ по математике базового уровня придется продемонстрировать умения и знания одного из понятий поведения функции: производных в точке или скоростей возрастания или убывания. Теория к этому заданию будет добавлена чуть позже, но это не помешает нам подробно разобрать несколько типовых вариантов.


Разбор типовых вариантов заданий №14 ЕГЭ по математике базового уровня


Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя; на вертикальной оси – температура двигателя в градусах Цельсия.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику процесса разогрева двигателя на этом интервале.

ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ:

А) 0 – 1 мин.

Б) 1 – 3 мин.

В) 3 – 6 мин.

Г) 8 – 10 мин.

 

ХАРАКТЕРИСТИКИ:

  1. самый медленный рост температуры
  2. температура падала
  3. температура находилась в пределах от 40°С до 80°С
  4. температура не превышала 30°С.

 

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Алгоритм выполнения задания:
  1. Выбрать интервал времени, на котором температура падала.
  2. Приложить линейку к 30°С и определить интервал времени, на котором температура была ниже 30°С.
  3. С помощью карандаша и линейки найдем на каком интервале времени температура находилась в пределах от 40°С до 80°С.
  4. Методом исключения выберем недостающий вариант ответа.
Решение:

Выберем интервал времени, на котором температура падала. Этот участок видно не вооруженным глазом, он начинается в 8 мин от момента запуска двигателя.

Г - 2

Приложим линейку к 30°С и определить интервал времени, на котором температура была ниже 30°С.

Ниже линейки окажется участок, соответствующий интервалу времени 0 – 1 мин.

А - 4

С помощью карандаша и линейки найдем на каком интервале времени температура находилась в пределах от 40°С до 80°С.

Опустим из точек, соответствующих 40°С и 80°С перпендикуляры на график, а из полученных точек опустим перпендикуляры на ось времени.

Видим, что этому температурному интервалу соответствует интервал времени 3 – 6,5 мин. То есть из приведенных в условии 3 – 6 мин.

В - 3

Методом исключения выберем недостающий вариант ответа.

Б – 1

Ответ:

А – 4

Б – 1

В – 3

Г - 2


Второй вариант задания

Установите соответствие между графиками функций и графиками их производных.

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

image001   image002

ГРАФИКИ ПРОИЗВОДНЫХ

image003   image004

Алгоритм выполнения задания для каждой из функций:
  1. Определить промежутки возрастания и убывания функций.
  2. Определить точки максимума и точки минимума функций.
  3. Сделать выводы, поставить в соответствие предложенные графики.
Решение:

Проанализируем график функции А. Если Функция возрастает, то производная положительна и наоборот. Производная функции равна нулю в точках экстремума.

Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

Сначала функция А возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 2 и 3. В точке максимума функции x=-2, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 3.

А - 3

Проанализируем график функции Б.

Сначала функция Б убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 4. Точка максимума функции x=-2, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 4.

Б - 4

Проанализируем график функции В.

Сначала функция В возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 2 и 3. Точка максимума функции x = 1, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 2.

В - 2

Методом исключения можем определить, что графику функции Г соответствует график производной под номером 1.

Г – 1

А – 3

Б – 4

В – 2

Г - 1

Ответ: 3421.


Третий вариант задания

Установите соответствие между графиками функций и графиками их производных.

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

image001   image002

ГРАФИКИ ПРОИЗВОДНЫХ

image003   image004

Алгоритм выполнения задания для каждой из функций:
  1. Определить промежутки возрастания и убывания функций.
  2. Определить точки максимума и точки минимума функций.
  3. Сделать выводы, поставить в соответствие предложенные графики.
Решение:

Проанализируем график функции А.

Если функция возрастает, то производная положительна и наоборот. Производная функции равна нулю в точках экстремума.

Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

Сначала функция А возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 3 и 4. В точке максимума функции x=0, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 4.

А - 4

Проанализируем график функции Б.

Сначала функция Б убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 2. Точка минимума функции x=-1, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 2.

Б - 2

Проанализируем график функции В.

Сначала функция В убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 2. Точка минимума функции x = 0, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 1.

В - 1

Методом исключения можем определить, что графику функции Г соответствует график производной под номером 3.

Г – 3

А – 4

Б – 2

В – 1

Г – 3

Ответ: 4213.


Вариант четырнадцатого задания 2017

На рисунке изображен график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами А, В, С и D. В правом столбце указаны значения производной в точках А, В, С и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

ЕГЭ по математике задание №14

ТОЧКИ
А
В
С
D

ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

Вспомним, что означает производная, а именно ее значение в точке - значение функции производной в точке равно тангенсу угла наклона (коэффициенту) касательной.

В ответах у нас есть два положительных, и два отрицательных варианта. Как мы помним, если коэффициент прямой (графика y = kx+ b) положительный - то прямая возрастает, если же он отрицательный - то прямая убывает.

Возрастающих прямых у нас две - в точке A и D. Теперь вспомним, что же означает значение коэффициента k?

Коэффициент k показывает, насколько быстро возрастает или убывает функция (на самом деле коэффициент k сам является производной функции y = kx+ b).

Поэтому k = 2/3 соответствует более пологой прямой - D, а  k = 3 - A.

Аналогично и в случае с отрицательными значениями: точке B соответствует более крутая прямая с k = - 4, а точке С - -1/2.