Задание №14 ЕГЭ по математике профильный уровень


Стереометрия


Задание №14 - стереометрия в профильном ЕГЭ по математике. В задачах данного уровня необходимо проявить знания как по планиметрии, так и по стереометрии. Однако многие задания опираются на теорему Пифагора, поэтому опыт решения аналогичных задач будет только плюсом. Перейдем к рассмотрению одного из таких заданий.


Разбор типовых вариантов заданий №14 ЕГЭ по математике профильного уровня


Все рёбра правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер АА1 и А1С1 соответственно.

а) Докажите, что прямые ВМ и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и АВВ1.

решение задания №14 егэ по математике

Итак, приступим. Доказательство того, что прямые перпендикулярны логично построить на утверждении, что треугольник BMN прямоугольный. Для этого же необходимо применить к нему теорему Пифагора.

Посмотрим на его гипотенузу BN, для этого рассмотрим прямоугольный треугольник BHN и применем к нему теорему Пифагора:

BN2 = (3√3)2+62=63

3√3 - это высота, медиана или биссектриса в равностороннем треугольнике со стороной 3

 Теперь найдем стороны BM и MN:

BM2 = 32+62= 45

MN2 = 32+32= 18

Проверяем:

BM2 + MN2 = 45 + 18 = 63 = BN2

Значит, треугольник прямоугольный и прямые перпендикулярны!

Решаем вторую часть задачи:

Проводим перпендикуляр NP к прямой А1В1. Тогда NP А1В1 и NP А1А. Следовательно, угол NMP – линейный угол искомого угла. Длина NP равна половине высоты треугольника А1В1С1, так как треугольник в два раза меньше (N - середина стороны):

NP = 3√3/2

Далее переходим к синусу и арксинусу в прямоугольном треугольнике:

решение задания №14 егэ по математике

Ответ: arcsin√3/8