Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня


Неравенства


В задании №15 профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо решить неравенство. Чаще всего неравенство связано с логарифмами или степенными выражениями. Для успешного выполнения необходимо хорошо оперировать данными выражениями.


Разбор типовых вариантов заданий №15 ЕГЭ по математике профильного уровня


Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Решите неравенство:

Алгоритм решения:
  1. Вводим подстановку.
  2. Записываем выражение неравенства в ином виде.
  3. Решаем неравенство.
  4. Возвращаемся к подстановке.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Вводим замену  t = 3x . Тогда исходное неравенство примет вид:

2. Преобразуем его:

3. Отсюда получаем решение t ≤ 3; 5 < t < 9.

4. Возвратимся к переменной х.

При t ≤ 3 получим: 3x ≤ 3 , следовательно x ≤ 1

При 5 < t < 9 получим: 5 < 3x < 9, следовательно log35 < x < 2.

5. Решение исходного неравенства:  x ≤ 1 и log35 < x < 2.

Ответ: (-∞;1] (log35;2)


Второй вариант задания (из Ященко, №1)

Решите неравенство http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/1_15.files/image001.gif .

Алгоритм решения задания:
  1. Вводим замену.
  2. Записываем неравенство в новом виде.
  3. Решаем неравенство.
  4. Возвращаемся к переменной х.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Вводим замену t = 3x.

2. Тогда неравенство примет вид:

3. Решаем его:

Отсюда t < 0; t = 2; t> 3.

4. Возвращаемся к переменной х.

При t < 0 получаем:

,

откуда 0 < x < 1.

При t = 2 получаем:

,

откуда x = 9.

При t > 3 получаем:

,

откуда x > 27.

5. Решения исходного неравенства:

.

Ответ: .


Третий вариант (Ященко, № 5)

Решите неравенство http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/5_15.files/image001.gif

Алгоритм решения:
  1. Находим ОДЗ выражения в неравенстве.
  2. Преобразуем неравенство к иному виду.
  3. Вводим замену и решаем новое неравенство.
  4. Возвращаемся к переменной х.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Запишем ОДЗ: .

log2х-5≠0, log2х≠5, х≠32

2. Преобразуем неравенство:

или

Получаем новое неравенство:

.

Вводим замену , тогда неравенство принимает новый вид. И его легко решить:

Размещаем полученные решения на числовую ось:

http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/5_15.files/image009.jpg

Возвращаемся к переменной х. Рассмотрим два случая:



http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/5_15.files/image012.jpg

Ответ: