Задание №16 ЕГЭ по математике базового уровня


Стереометрия


В задании №16 базового уровня ЕГЭ по математике нам предстоит столкнуться со стереометрией. Как таковой "стереометрии" мы не встретим, обычно условие задания содержит объемную фигуру, в которой нам необходимо найти какое-либо расстояние. В данном задании необходимо правильно применить пространственное мышление и выбрать нужное сечение, остальные расчеты происходят в плоскости, причем по несложным формулам (теорема Пифагора и т.д.). Какой-либо конкретной теории я пока приводить не буду, а рассмотрю типовые варианты, на которых мы и рассмотрим алгоритмы решения задач данного типа.


Разбор типовых вариантов заданий №16 ЕГЭ по математике базового уровня


Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Радиус основания цилиндра равен 13, а его образующая 18. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.

Алгоритм выполнения:
  1. Определить тип фигуры, образующей сечение.
  2. Записать формулу для нахождения площади фигуры, образующей сечение.
  3. Вычислить недостающие данные.
  4. Вычислить искомую площадь сечения.
Решение:

Из рисунка видно, что сечение является прямоугольником, одна из сторон которого образующая цилиндра.

Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину.

Длина прямоугольника – 18, из условия. Осталось вычислить ширину. Сделаем дополнительный чертеж цилиндра сверху:

Ширина прямоугольника – CD.

По условию «Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12». Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. То есть на чертеже АВ = 12.

СD = СВ + ВD. СВ = ВD

Рассмотрим треугольник ВСА. Треугольник ВСА – прямоугольный.

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В данном случае СА2 = СВ2 + АВ2

СВ2 - неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

СВ2 = СА2 - АВ2

СВ = √(СА2 - АВ2)

СВ = √(132 - 122) = √(169 - 144) = √25 = 5

Для решения задачи необходимо знать СD = СВ + ВD = 5 + 5 = 10

Вычислим искомую площадь сечения.

10 · 18 = 180

Ответ: 180.


Второй вариант задания

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 24, а боковые рёбра равны 37. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Алгоритм выполнения:
  1. Проанализировать какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.
  2. Найти площади треугольников.
  3. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение:

Проанализируем, какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Боковые ребра пирамиды, равные 37, образуют три равнобедренных треугольника, которые составляют ее боковую поверхность.

Найдем площади треугольников.

image001

Так как треугольник равнобедренный, то высота BH делит сторону AC пополам, то есть, AH=AC:2=24:2=12.

Рассмотрим треугольник АВН.

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В данном случае АВ2 = ВН2 + АН2

ВН2 - неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

ВН2 = АВ2 - АН2

Следовательно, высота BH, равна:

image002

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Тогда, площадь треугольника может быть вычислена как

image003

Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая поверхность пирамиды состоит из трех треугольников. Найдем ее площадь:

image004

Ответ: 1260.


Третий вариант задания

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Алгоритм выполнения:
  1. Проанализировать какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.
  2. Найти площади треугольников.
  3. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение:

Проанализируем, какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Боковые ребра пирамиды, равные 17, образуют три равнобедренных треугольника, которые составляют ее боковую поверхность.

Найдем площади треугольников.

image001

Так как треугольник равнобедренный, то высота BH делит сторону AC пополам, то есть, AH=AC:2=16:2=8.

Рассмотрим треугольник АВН.

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В данном случае АВ2 = ВН2 + АН2

ВН2 - неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

ВН2 = АВ2 - АН2

Следовательно, высота BH, равна:

image002

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Тогда, площадь треугольника может быть вычислена как

image003

Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая поверхность пирамиды состоит из трех треугольников. Найдем ее площадь:

image004

Ответ: 360.


Вариант шестнадцатого задания 2017

Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно √17.

ЕГЭ по математике задание №16

Вспомним формулу площади правильной пирамиды - одна треть от произведения площади основания и высоты.

Площадь основания рассчитываем по формуле площади квадрата - квадрат стороны:

ЕГЭ по математике задание №16

После этого перейдем к нахождению высоты. Для этого нам необходимо рассмотреть прямоугольный (так как основание перпендикулярно высоте) треугольник AMH. AH - половина диагонали квадрата, которая равна √2 его стороны, то есть в нашем случае диагональ равна 4√2, ну а половина - AH = 2√2. Зная гипотенузу и один из катетов, найдем высоту:

ЕГЭ по математике задание №16

После этого легко вычисляем объем:

V = 1/3 • 16 •3 = 16

Ответ: 16