Задание №19 ЕГЭ по математике базовый уровень


Свойства чисел


Задание №19 ЕГЭ по математике весьма необычно. Для его решения необходимо применить знания в области теории чисел. Тем не менее, задание является весьма решаемым, однако для школьников с оценкой хорошо и ниже я рекомендовал бы оставить это задание на последнюю очередь. Перейдем к рассмотрению типового варианта.


Разбор типовых вариантов заданий №19 ЕГЭ по математике базового уровня


Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Найдите трехзначное число, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь оно такое число.

Алгоритм выполнения задания:
  1. Ввести условные обозначения.
  2. Записать условия с помощью условных обозначений.
  3. Преобразовать полученные выражения.
  4. Логически рассуждая перебрать все возможные варианты, проверить их соответствие условиям.
Решение:

Обозначим первую цифру числа x, а вторую – y. Тогда третье число с учетом суммы цифр равной 20 будет равно 20 – (x + y). (x + y) обязательно меньше 10, иначе сумма равная 20 не получится.

По условию сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Запишем сумму квадратов цифр:

x 2 + y2 + (20 – (x + y))2

Преобразуем полученное выражение. Преобразуем квадрат разности с учетом формулы приведения.

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений. 

(20 – (x + y))2 = 400 -40(x + y) + (x + y)2

Подставим получившееся выражение в начальное, получим:

x 2 + y2 + (20 – (x + y))2 = x 2 + y2 + 400 - 40(x + y) + (x + y)2

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений. 

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

Подставим:

x 2 + y2 + (20 – (x + y))2 = x 2 + y2 + 400 - 40(x + y) + (x + y)2 = x 2 + y2 + 400 - 40(x + y) + x2 + 2xy + y2

Приведем подобные слагаемые(сложим x2 с x2 и y2 с y2), получим:

x 2 + y2 + 400 - 40(x + y) + x2 + 2xy + y2 = 2x 2 + 2y2 + 2 · 200 - 2 · 20(x + y) + 2xy

Вынесем множитель 2 за скобку:

2x 2 + 2y2 + 2 · 200 - 2 · 20(x + y) + 2xy = 2(x 2 + y2 + 200 - 20(x + y) + xy)

Для удобства объединим 200 и 20(x + y) и вынесем 20 за скобку, получим:

2(x 2 + y2 + 20(10 - (x + y)) + xy)

Множитель 2 – четный, поэтому он никак не влияет на делимость на 3 или 9. Можем его не брать в расчет и рассматривать выражение:

x 2 + y2 + 20(10 - (x + y)) + xy

Предположим, что и x, и y делятся на 3. Тогда x 2 + y2 + xy делится на 3, а 20(10 - (x + y)) – не делится. Следовательно, и вся сумма x 2 + y2 + 20(10 - (x + y)) + xy на 3 не делится.

Предположим, что на 3 делится только одна цифра. Тогда, учитывая, что (x + y) обязательно меньше 10, иначе сумма равная 20 не получится, подберем возможные пары.

(3;8), (6;5), (6;7), (6;8), (9;2), (9;4), (9;5), (9;7), (9;8).

Методом подстановки проверим, соответствуют эти пары условию.

x 2 + y2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 3 2 + 82 + 20(10 - (3 + 8)) + 3 · 8 = 9 + 64 – 20 + 24 = 77

x 2 + y2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 6 2 + 52 + 20(10 - (6 + 5)) + 6 · 5 = 36 + 25 – 20 + 30 = 71

x 2 + y2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 6 2 + 72 + 20(10 - (6 + 7)) + 6 · 7 = 36 + 49 – 60 + 42 = 67

x 2 + y2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 6 2 + 82 + 20(10 - (6 + 8)) + 6 · 8 = 36 + 64 – 80 + 48 = 68

x 2 + y2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 9 2 + 22 + 20(10 - (9 + 2)) + 9 · 2 = 81 + 4 – 20 + 18 = 83

x 2 + y2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 9 2 + 42 + 20(10 - (9 + 4)) + 9 · 4 = 81 + 16 – 60 + 36 = 73

Ни одна из полученных сумм не удовлетворяет условию «сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9».

Следующие пары можно не проверять, так как они дают уже имеющиеся тройки цифр.

Предположим, что ни одна из цифр числа не делится на 3.

Возможные пары:

(4;7), (5;7), (5;8), (7;8).

Проверим:

x 2 + y2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 4 2 + 72 + 20(10 - (4 + 7)) + 4 · 7 = 16 + 49 – 20 + 28 = 73

x 2 + y2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 5 2 + 72 + 20(10 - (5 + 7)) + 5 · 7 = 25 + 49 – 40 + 35 = 69

Сумма 69 удовлетворяет условию «сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9». Следовательно, подходят цифры 5,7,8 в любом порядке.

Ответ: 578


Второй вариант задания

На 6 карточках написаны цифры 1; 2; 3; 6; 9; 9 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении □ + □□ + □□□ вместо каждого квадратика положили карточку из набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 10. Найдите эту сумму. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения задания:
  1. Вспомнить признак делимости на 10.
  2. Разместить последние цифры каждого слагаемого таким образом, чтобы в сумме получилось 10.
  3. Расположить оставшиеся карточки в произвольном порядке.
Решение:

1. Если сумма делится на 10 нацело, то последняя цифра должна быть 0, остальные цифры значения не имеют.

2. В первый квадрат поместим цифру 1, в следующем числе на последнем месте – цифру 3 (или 6), а в третьем – цифру 6 (или 3), получим (сумма 1+3+6=10):

image001

3. Остальные цифры заполним произвольно, например, так:

image002

и получится сумма

1+23+996 = 1020.

Ответ: 1020


Третий вариант задания

На 6 карточках написаны цифры 1; 2; 2; 3; 5; 7 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении □ + □□ + □□□ вместо каждого квадратика положили карточку из набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 20. Найдите эту сумму. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения задания:
  1. Вспомнить признак делимости на 10 и сформулировать признак делимости на 20.
  2. Разместить последние цифры каждого слагаемого таким образом, чтобы в сумме получилось 10.
  3. Разместить предпоследние цифры каждого слагаемого таким образом, чтобы в сумме получилось четное число в результате с учетом суммы первых цифр.
  4. Расположить оставшиеся карточки в произвольном порядке.
Решение:

1. Чтобы сумма делилась на 20, она должна заканчиваться на 0 и вторая цифра с конца должна быть четной (делиться на 2). Чтобы в конце суммы получить 0, первые три карточки следует выбрать так:

image001

2. Чтобы вторую цифру получить четной, можно взять карточки 2 и 7 (к ней будет добавляться еще 1 от первой суммы 10):

image002

3. В последнее место помещаем оставшуюся цифру 1, в результате имеем:

image003

и сумма равна:

2+23+175=200.

Ответ: 200