Задание №19 ЕГЭ по математике базовый уровень


Свойства чисел


Задание №19 ЕГЭ по математике весьма необычно. Для его решения необходимо применить знания в области теории чисел. Тем не менее, задание является весьма решаемым, однако для школьников с оценкой хорошо и ниже я рекомендовал бы оставить это задание на последнюю очередь. Перейдем к рассмотрению типового варианта.


Разбор типовых вариантов заданий №19 ЕГЭ по математике базового уровня


Найдите трехзначное число, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Такое короткое условие, такое длинное решение и рассуждение...

Кстати, для расширения кругозора советую всем познакомиться с Великой теоремой Ферма, которая формулируется очень просто и понятна каждому школьнику, но для её доказательства математикам потребовалось более 300 лет!

Пусть x, y и (20 – (x + y)) – цифры нашего числа, причем ни одна из них не равна 0 или 1 (иначе суммы 20 не получить) и должно выполняться условие x + y > 10.

Тогда сумма квадратов цифр запишется так:

ЕГЭ по математике задание №19

Делимость этого числа на 3 или 9 никак не зависит от чётного множителя, на него можно сократить. Теперь будем рассматривать число

ЕГЭ по математике задание №19

Если х и у делятся на 3, то, очевидно, первые 4 слагаемых будут делиться на 3, а 200 не делится на 3 и значит вся сумма не делится на 3.

Пусть теперь только одна из цифр делится на 3. Тогда, с учётом x + y > 10, возможны следующие пары: (3, 8), (6, 5), (6, 7), (6, 8), (9, 2), (9, 4), (9, 5), (9, 7), (9, 8). Среди этих вариантов достаточно попробовать первые 6 пар, потому что следующие будут давать уже встречавшиеся тройки цифр:

ЕГЭ по математике задание №19

Ни одна подстановка не подходит. Пусть, наконец, ни одна из цифр х и у не делится на 3. Пары: (4, 7), (5, 7), (5, 8), (7, 8). Достаточно попробовать первые две.

ЕГЭ по математике задание №19

Последняя подстановка подходит, значит цифры могут быть такими: 5, 7, 8. Естественно, любой другой их порядок подходит: 587, 758, 785, 857, 875.

Ответ: 587