Задание №19 ЕГЭ по математике профильный уровень


Элементы теории чисел


19 задание в профильном уровне ЕГЭ по математике направлено на выявление у учеников способности оперировать числами, а именно их свойствами. Это задание наиболее сложное и требует нестандартного подхода и хорошего знания свойств чисел. Перейдем к рассмотрению типового задания.


Разбор типовых вариантов заданий №19 ЕГЭ по математике профильного уровня


На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно –3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно –8.

  1. Сколько чисел написано на доске?
  2. Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
  3. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому:

4k – 8l + 0·m = –3(k + l + m)

Заметим, что в левой части приведенного выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому k + l + m – количество целых чисел, которые делятся на 4. По условию 40 < k + l + m < 48, поэтому k + l + m = 44. Таким образом, на доске написано 44 числа.

Приведём равенство 4k – 8l = –3(k + l + m) к виду 5l = 7k + 3m. Так как m ≥ 0, получаем, что 5l ≥7k, откуда l > k. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

Подставим k + l + m = 44 в правую часть равенства 4k – 8l = –3(k + l +m): 4k – 8l = –132, откуда k = 2l – 33. Так как k + l ≤ 44, получаем: 3l – 33 ≤ 44; 3l ≤ 77; l ≤ 25; k = 2l – 33 ≤ 17, то есть положительных чисел не более 17.

Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число –8 и 2 раза написан 0. Тогда указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: 1 - 44; 2 - отрицательных; 3 - 17.