Разбор и решение задания №21 ОГЭ по математике


Решение уравнений


В данном задании необходимо решить уравнение степени больше двух - это может быть биквадратное или кубическое уравнение. Ниже мы приводим алгоритмы решения типовых заданий!


Разбор типовых вариантов задания №21 ОГЭ по математике


Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Решите уравнение

x4 = (4x - 5)2

Алгоритм решения:
  1. Определить тип уравнения.
  2. Перенести правую часть уравнения в левую.
  3. Привести уравнение к виду, при котором можно его многочлен слева разложить на множители.
  4. Разложить на множители.
  5. Приравнять каждый множитель к нулю
  6. Решить полученные уравнения.
  7. Записать ответ.
Решение:

1. Уравнение четвертой степени.

2. Перенесем правую часть уравнения в левую:

x4 - (4x - 5)2 = 0

3. Уравнение уже приведено к виду, при котором можно его левую часть разложить на множители.

4. Данное уравнение разложим на множители по формуле разности квадратов. Получим:

2 – (4х-5))( х2 + (4х-5)) = 0, или (х2 – 4х+5)(х2 + 4х-5) = 0.

5. Приравняем каждый множитель к нулю:

х2 – 4х+5 = 0 и х2 + 4х-5 = 0

6. Решим каждое из уравнений по формулам дискриминанта и корней:

Для первого уравнения:

D = b2-4ac = 16-20 = - 4, это означает, что первое уравнение х2 – 4х+5 = 0 не имеет корней.

Для второго уравнения:

Определим корни второго уравнения:

Получили два корня: -5; 1.

Ответ: -5; 1.


Второй вариант задания

Решите уравнение

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_21.files/image001.gif

Алгоритм решения:
  1. Определить тип уравнения.
  2. Найти делители свободного члена уравнения.
  3. Определить среди делителей один из корней.
  4. Выполнить деление кубического многочлена на выражение х-а, где а – найденный корень.
  5. Записать получившийся в результате деления квадратный трехчлен и составим уравнение.
  6. Решить уравнение.
  7. Записать ответ.
Решение:

1. Перед нами уравнение третьей степени общего типа.

2. Найдем делители свободного члена данного уравнения. Это числа: 1; -1; 2; -2; 3; -3; 4; -4; 6; -6; 12; -12;.18; -18; 36; -36.

3. Рассмотрим числа 1; -1; 2; -2; 3; -3. Это наименьшие среди найденных делителей. Подставим их по очереди в уравнение вместо х:

  • для x=1: http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_21.files/image002.gif  - не подходит;
  • для x=-1: http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_21.files/image003.gif  - не подходит;
  • для х=2: 23+4∙22-9∙2=8=16-18-36=-38≠0 - не подходит;
  • для х=-2: (-2)3+4∙(-2)2-9∙(-2)-36=-8+16+18-36=-10≠0 – не подходит;
  • для x=3: http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_21.files/image004.gif  - подходит.

Мы нашли один корень.

4. Теперь выполним деление кубического многочлена на x-3, воспользовавшись схемой Горнера, имеем:

 14-9-36
317120

Искать квадратный трехчлен можно другим способом, выполнив деление многочлена столбиком:

5. После деления получаем квадратный трехчлен:

x2 +7x+12.

Составим квадратное уравнение для вычисления оставшихся двух корней:

x2 +7x+12=0

6. Решим его с помощью формул корней и дискриминанта

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_21.files/image005.gif

7. Получили три корня 3; -3; -4.

Ответ: 3;-3;-4.


Третий вариант задания

Решите уравнение

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/2_21.files/image001.gif

Алгоритм решения:
  1. Определить тип уравнения.
  2. Найти делители свободного члена уравнения.
  3. Определить среди делителей один из корней.
  4. Выполнить деление кубического многочлена на выражение х-а, где а – найденный корень.
  5. Записать получившийся в результате деления квадратный трехчлен и составим уравнение.
  6. Решить уравнение.
  7. Записать ответ.

1. Перед нами кубическое уравнение общего вида.

2. Найдем делители свободного члена уравнения. Это числа: 1; -1 и 2; -2.

3. Определим один из корней кубического уравнения среди делителей свободного члена .Для этого подставим каждый из этих делителей вместо x и проверим, какой их них является корнем:

- для x=1: http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/2_21.files/image002.gif  - подходит это и есть один из корней.

4. Теперь выполним деление кубического многочлена на x-1, воспользовавшись схемой Горнера, имеем:

 12-1-2
11320

Искать квадратный трехчлен можно другим способом, выполнив деление многочлена столбиком:

5. Получаем квадратный трехчлен

x2 +3x+2.

6. Составим и решим квадратное уравнение для вычисления оставшихся двух корней. Для этого воспользуемся формулами корней квадратного уравнения и дискриминантом.

7. Получили три корня -2; -1; 1.

Ответ: -2; -1; 1.


Демонстрационный вариант 2017 (сокращение дроби)

Сократите дробь

21

Решение:

Разложим 18 в числителе на множители 9 и 2:

211

Далее представим 9 как 3² и раскроем скобки в числителе:

212

При делении степени вычитаются, поэтому запишем:

213

Выполнив вычисления, получим:

214

Ответ: 96