Разбор и решение задания №25 ОГЭ по математике


Четырехугольники


Разбор типовых вариантов заданий №25 ОГЭ по математике


Первый вариант задания

Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках А и В, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой АВ. Докажите, что прямые АВ и IJ перпендикулярны.

Алгоритм решения:
  1. Делаем чертеж.
  2. Определяем место расположения точек I и J.
  3. Используем свойство серединного перпендикуляра.
  4. Делаем вывод.
Решение:

1. Делаем чертеж, согласно условия:

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_25.files/image001.jpg

2. Определяем место расположения точек I и J:

Точка I равноудалена от точек A и B. Аналогично, точка J равноудалена от концов отрезка AB.

3. По свойству геометрического места точек, равноудаленных от концов отрезка, эти точки расположены на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

А если две точки I и J лежат на серединном перпендикуляре, прямая IJ совпадает с ним.

Следовательно, прямые IJ и АВ перпендикулярны.


Второй вариант задания

Окружности с центрами в точках Е и F пересекаются в точках С и D, причём точки Е и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые CD и EF перпендикулярны.

Алгоритм решения задачи:
  1. Делаем чертеж по условию задачи.
  2. Рассмотрим треугольники CEF и DEF и установим их равенство.
  3. Воспользуемся свойством равных фигур для определения вида треугольника CED.
  4. Используем свойство равнобедренного треугольника и делаем вывод.
Решение:

1. Делаем чертеж по условию задачи:

Безымянный.bmp

2. Рассмотрим треугольники CEF и DEF и установим их равенство:

У них CE=DE, как радиусы окружности с центром в точке Е,

Аналогично, CF = DF, как радиусы окружности с центром в точке F.

EF – общая сторона.

Значит, данные треугольники равны.

Тогда по свойству равных фигур http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/2_25.files/image001.gif .

Рассмотрим треугольник CED. У него CE=DE, поскольку это соответствующие стороны равных фигур. Значит, треугольник равнобедренный.

EF – биссектриса угла E. следовательно, EF – высота по свойству равнобедренного треугольника. Отсюда следует, что http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/2_25.files/image003.gif .

Утверждение доказано.


Третий вариант задания

Окружности с центрами в точках М и N пересекаются в точках S и Т, причём точки М и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.

Алгоритм решения задачи:
  1. Делаем чертеж по условию задачи.
  2. Рассмотрим треугольники SMN и TMN и установим их равенство.
  3. Воспользуемся свойством равных фигур для определения вида треугольника SMT.
  4. Используем свойство равнобедренного треугольника и делаем вывод.
Решение:

1. Делаем чертеж согласно условия задачи.

Безымянный.bmp

2. Рассмотрим треугольники SMN и TMN. Они равны по трем сторонам:

SM=TM как радиусы окружности с центром в точке М,

SN=TN как радиусы окружности с центром в точке N,

а MN – общая сторона (см. рисунок выше).

3. По свойству равных фигур, http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/3_25.files/image001.gif  , как соответствующие углы в равных треугольниках.

4. Рассмотрим треугольник SMT.

В нем по доказанному выше http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/3_25.files/image001.gif , а значит MN – биссектриса угла M. Данный треугольник равнобедренный с равными сторонами SM и TM.

Следовательно, MN – высота по свойству биссектрисы равнобедренного треугольника. Следовательно, http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/3_25.files/image003.gif .

Утверждение доказано.


Четвертый вариант задания

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ВСА и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

Алгоритм решения задачи:
  1. Выполняем рисунок по условию задачи.
  2. Устанавливаем подобие треугольников BOC и AOD.
  3. Записываем соотношение для сторон.
  4. Устанавливаем подобие треугольников AOB и DOC.
  5. Делаем вывод.
Решение:

1. Выполняем чертеж по условию задачи:

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/4_25.files/image001.jpg

2. Рассматриваем треугольники BOC и AOD.У них:

углы ВСА и BDA равны по условию задачи,

углы BOC и AOD равны как вертикальные.

Значит, треугольники BOC и AOD подобны по двум углам.

3. Для подобных треугольников BOC и AOD записываем соотношение соответствующих сторон:

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/4_25.files/image002.gif

4. Рассматриваем треугольники AOB и DOC. У них:

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/4_25.files/image002.gif

углы AOB и DOC равны как вертикальные.

Следовательно, данные треугольники подобны.

По свойству подобных фигур соответствующие углы в треугольниках равны. Значит, http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/4_25.files/image003.gif , а поскольку эти углы совпадают с углами ABD и ACD , то http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/4_25.files/image004.gif .

Утверждение доказано.


Пятый вариант задания

В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC= ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

25

Доказательство:

Рассмотрим треугольники BEC и AED. BE = EA, так как E - середина стороны AB по условию. EC= ED по условию, а BC = AD по свойству параллелограмма (противолежащие стороны равны). Таким образом, BE = EA, EC= ED, BC = AD. Следовательно, треугольники BEC и AED равны по трём сторонам.

В равных треугольниках - равные элементы. Значит, углы CBE и DAE равны. Так как их сумма равна 180° по свойству параллелограмма , то углы равны 90° (180 / 2 = 90 ) .

Следовательно, данный параллелограмм — прямоугольник.