Разбор и решение задания №26 ОГЭ по математике


Комплексная геометрическая задача


Разбор типовых вариантов заданий №26 ОГЭ по математике


Первый вариант задания 

Биссектриса СМ треугольника ABC делит сторону АВ на отрезки AM = 5 и MB =10. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку С, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.

Алгоритм решения задачи:
  1. Делаем чертеж.
  2. Определяем равенство угла между касательной и хордой и угла АВС.
  3. Определяем соотношение отрезков из свойства биссектрисы угла треугольника и найдем АВ.
  4. Показываем, что треугольники DAC и DCB подобны.
  5. Составляем соотношения сторон подобных треугольников.
  6. Составляем систему равенств.
  7. Решаем систему.
  8. Записываем ответ.
Решение:

1. Выполняем чертеж данной задачи:

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_26.files/image002.jpg

2. Рассматриваем АСD. В нем:

Согласно свойству углов окружности, касательной и секущей, угол, который образован этими линиями, равен половине градусной меры дуги, заключенной между сторонами этого угла. ∠DСА равен половине градусной меры дуги АС, заключенной между его сторонами СD и СА.
Но вписанный ∠СВА опирается на ту же дугу АС и по свойству вписанного угла равен половине меры этой дуги. Следовательно, ∠ СВА=∠ АСD.
3. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит АВ на отрезки АМ и МВ, пропорциональные сторонам АС и ВС. Таким образом,

4. Рассмотрим DAC и DCB. У них:

∠ DCA = ∠ DBC по доказанному выше,

∠ D – общий.

Следовательно, DAC DCB по двум углам.

5. Из определения и свойств подобных треугольников имеем:

6. Составим систему равенств:

7. Решим систему:

Ответ: 10.


Второй вариант задания

Биссектриса СМ треугольника ABC делит сторону АВ на отрезки AM = 9 и MB = 12. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку С, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.

Алгоритм решения задачи:
  1. Сделаем чертеж.
  2. Определим равенство углов CDB и АВС.
  3. Определим соотношение отрезков, воспользовавшись свойством биссектрисы угла треугольника, и определим длину АВ.
  4. Покажем, что треугольники DAC и DCB подобны.
  5. Составим соотношения сторон подобных треугольников.
  6. Составим систему равенств.
  7. Решим систему.
  8. Запишем ответ.
Решение:

1. Делаем чертеж.

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/1_26.files/image002.jpg

2. Рассмотрим АСD. В нем, согласно свойству углов окружности, касательной и секущей,
угол, который образован этими линиями, равен половине градусной меры дуги, заключенной между сторонами этого угла.
⇒∠DСА равен половине градусной меры дуги АС, заключенной между его сторонами СD и СА.
Но вписанный ∠СВА опирается на ту же дугу АС и по свойству вписанного угла равен половине меры этой дуги. Следовательно, ∠ СВА=∠ АСD.
3. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, согласно которому она делит АВ на отрезки АМ и МВ, пропорциональные сторонам АС и ВС. Таким образом,

4. Рассмотрим DAC и DCB. У них:

∠ DCA = ∠ DBC по доказанному выше,

∠ D – общий.

Значит, DAC DCB по двум углам.

5. Из определения и свойств подобных треугольников имеем:

6. Составим систему равенств:

7. Решим систему:

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/2_26.files/image008.gif

Отсюда

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/2_26.files/image009.gif

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/2_26.files/image010.gif

Так как AD = DB-21, имеем:

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/2_26.files/image011.gif

Таким образом, искомая длина CD=36.

Ответ: 36.


Четвертый вариант задания

Точки М и N лежат на стороне АС треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М и N и касающейся луча АВ, если

Алгоритм решения задачи:
  1. Сделаем чертеж.
  2. Установим подобие треугольников AFM и ANF.
  3. Определим сторону FM.
  4. Определим ∠FNA.
  5. Найдем .
  6. Составим теорему синусов и найдем радиус окружности.
  7. Запишем ответ.
Решение:

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/4_26.files/image004.jpg

1. Рассмотрим треугольники AFM и ANF. У них:

Угол A является общим, а

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/4_26.files/image002.gif по доказанному выше.

Следовательно, треугольник AFM подобен треугольнику ANF по двум углам. Отсюда вытекает:

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/4_26.files/image003.gif

3. В треугольнике AFM сторона AF=3, сторона AM=9. Воспользуемся теоремой косинусов для определения FM:

Полученное значение означает, что AFM является равнобедренным. У него основание AF.

4. По свойству равнобедренного треугольника ∠FAM=∠AFM. Отсюда

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/4_26.files/image006.gif

5. Найдем

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/4_26.files/image007.gif

Значит,

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/4_26.files/image008.gif

6. Из FMN по теореме синусов:

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/4_26.files/image009.gif

где R – радиус описанной окружности.

Отсюда получим значение радиуса окружности:

http://self-edu.ru/htm/2018/oge2018_36/files/4_26.files/image010.gif

Ответ: 5,4.


Пятый вариант задания

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC .

26

Пусть O — центр данной окружности, а Q — центр окружности, вписанной в треугольник ABC .

Точка касания M окружностей делит AC пополам по условию.

Лучи AQ и AO — биссектрисы смежных углов, так как касательные к окружностям равноудалены от центра. Так как  AQ и AO — биссектрисы смежных углов, то угол OAQ прямой - смежные углы в сумме дают 180°, значит сумма их биссектрис:

180°/2 = 90°.

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник OAQ. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, получаем:

AM² = MQ•MO

Отсюда:

QM = AM² / MO

QM = 6² / 8 = 4,5

Ответ: 4,5