Задание №3 ЕГЭ по математике базового уровня


Задачи на проценты


В задании №3 ЕГЭ по математике нам предстоит решить простую задачу на проценты или часть от целого. Данные задачи в большинстве случаев интуитивно понятны, так как взяты из реальных жизненных ситуаций, тем не менее необходимо быть внимательным при их выполнении.


Разбор типовых вариантов заданий №3 ЕГЭ по математике базового уровня


Первый вариант задания

Банк начисляет на срочный вклад 8% годовых. Вкладчик положил на счёт 7000 рублей. Сколько рублей будет на этом счёте через год, если никаких операций, кроме начисления процентов, со счётом проводиться не будет?

Алгоритм выполнения:
  • Вариант 1.
  1. Сложить 100% и процент годовых.
  2. Найти 1% от суммы, для этого сумму разделить на 100.
  3. Умножить стоимость 1% на искомое количество процентов.
  • Вариант 2.
  1. Сложить 100% и процент годовых.
  2. Полученные проценты перевести в десятичную дробь (разделить на сто).
  3. Найти процент от числа (число умножить на полученную десятичную дробь).
Решение:
  • Вариант 1.

Вклад 8 % годовых означает, что начальная сумма 7000 рублей через год увеличится на 8%, то есть составит 100+8=108% от исходной суммы.

Способ нахождения процента от числа №1. Для того, чтобы найти процент от числа нужно данное число разделить на 100(узнать сколько составляет 1 %), а затем умножить на искомое количество процентов.

Вычислим 108% от 7000, получим:

  1. 7000 : 100 = 70(рублей) – составит 1 %.
  2. 70 · 108 = 7560(рублей) – составит вклад через год.
  • Вариант 2.

Вклад 8 % годовых означает, что начальная сумма 7000 рублей через год увеличится на 8%, то есть составит 100+8=108% от исходной суммы.

Способ нахождения процента от числа №2. Для того, чтобы найти процент от числа, нужно перевести искомый процент в десятичную дробь(разделить на сто), затем умножит число на полученную десятичную дробь.

108% = 108 : 100 = 1,08

7000 · 1,08 или

image001 .

Выполнив умножение столбиком, имеем:

image002

Ответ: 7560.


Второй вариант задания

Банк начисляет на срочный вклад 7 % годовых. Вкладчик положил на счёт 3000 рублей. Сколько рублей будет на этом счёте через год, если никаких операций, кроме начисления процентов, со счётом проводиться не будет?

Алгоритм выполнения:
  • Вариант 1.
  1. Сложить 100% и процент годовых.
  2. Найти 1% от суммы, для этого сумму разделить на 100.
  3. Умножить стоимость 1% на искомое количество процентов.
  • Вариант 2.
  1. Сложить 100% и процент годовых.
  2. Полученные проценты перевести в десятичную дробь (разделить на сто).
  3. Найти процент от числа (число умножить на полученную десятичную дробь).
Решение:
  • Вариант 1.

Вклад 7 % годовых означает, что начальная сумма 3000 рублей через год увеличится на 7%, то есть составит 100+7=107% от исходной суммы.

Способ нахождения процента от числа №1. Для того, чтобы найти процент от числа нужно данное число разделить на 100(узнать сколько составляет 1 %), а затем умножить на искомое количество процентов.

Вычислим 107% от 3000, получим:

  1. 3000 : 100 = 30(рублей) – составит 1 %.
  2. 30 · 107 = 3210(рублей) – составит вклад через год.
  • Вариант 2.

Вклад 7 % годовых означает, что начальная сумма 3000 рублей через год увеличится на 7%, то есть составит 100+7=107% от исходной суммы.

Способ нахождения процента от числа №2. Для того, чтобы найти процент от числа, нужно перевести искомый процент в десятичную дробь (разделить на сто), затем умножит число на полученную десятичную дробь.

107% = 107 : 100 = 1,07

3000 · 1,07 или image001

Ответ: 3210.


Третий вариант задания

В сентябре 1 кг слив стоил 40 рублей, в октябре сливы подорожали на 40%, а в ноябре ещё на 15%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в ноябре?

Алгоритм выполнения:
  1. Найти сколько составляет один процент от начальной стоимости.
  2. Сложить 100% и на сколько процентов произошло подорожание впервые.
  3. Умножить стоимость одного процента на полученное количество процентов.
  4. Найти стоимость 1% от новой стоимости.
  5. Сложить 100 % и количество процентов, на которое подорожал товар во второй раз.
  6. Умножить стоимость одного процента на полученное количество процентов.
Решение с пояснениями:

Найдем сколько составляет один процент от начальной стоимости:

40 : 100 = 0,4 (рублей) – составляет 1 % от начальной стоимости.

Сложим 100% и на сколько процентов произошло подорожание впервые.

100 + 40 = 140 (%) – составила стоимость от начальной цены после первого подорожания.

Умножим стоимость одного процента на полученное количество процентов.

140 · 0,4 = 56 (рублей) – стали стоить сливы в октябре.

Найдем стоимость 1% от новой стоимости.

56 : 100 = 0,56 (рубля) – 1% от новой стоимости.

Сложим 100 % и количество процентов, на которое подорожал товар во второй раз.

100 + 15 = 115 (%) – составила стоимость в ноябре от цены в октябре.

Умножим стоимость одного процента на полученное количество процентов.

115 · 0,56 = 64,4 (рубля) – конечная стоимость.

Решение в общем виде:

Подорожание на 40% означает увеличение стоимости на 140%, то есть, 40 рублей становятся равными

image001  рублей.

Затем, в ноябре стоимость слив увеличилась еще на 15%, что составило

image002  рублей.

Замечание: обратите внимание, что в данной задаче нельзя просто складывать проценты 40+15=55% и вычислять 155% от 40 рублей! Это будет приводить к неверным решениям.

Ответ: 64,4.


Четвертый вариант задания

В сентябре 1 кг винограда стоил 90 рублей, в октябре виноград подорожал на 20 %, а в ноябре ещё на 25 %. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

Алгоритм выполнения:
  1. Найти сколько составляет один процент от начальной стоимости.
  2. Сложить 100% и на сколько процентов произошло подорожание впервые.
  3. Умножить стоимость одного процента на полученное количество процентов.
  4. Найти стоимость 1% от новой стоимости.
  5. Сложить 100 % и количество процентов, на которое подорожал товар во второй раз.
  6. Умножить стоимость одного процента на полученное количество процентов.
Решение с пояснениями:

Найдем сколько составляет один процент от начальной стоимости:

90 : 100 = 0,9 (рублей) – составляет 1 % от начальной стоимости.

Сложим 100% и на сколько процентов произошло подорожание впервые.

100 + 20 = 120 (%) – составила стоимость от начальной цены после первого подорожания.

Умножим стоимость одного процента на полученное количество процентов.

120 · 0,9 = 108 (рублей) – стали стоить сливы в октябре.

Найдем стоимость 1% от новой стоимости.

108 : 100 = 1,08 (рубля) – 1% от новой стоимости.

Сложим 100 % и количество процентов, на которое подорожал товар во второй раз.

100 + 25 = 125 (%) – составила стоимость в ноябре от цены в октябре.

Умножим стоимость одного процента на полученное количество процентов.

125 · 1,08 = 135 (рублей) – конечная стоимость.

Решение в общем виде:

Подорожание на 20% означает увеличение стоимости на 120%, то есть, для 90 рублей имеем:

image001  рублей.

Затем, в ноябре стоимость слив увеличилась еще на 25%, что составило

image002  рублей.

Замечание: обратите внимание, что в данной задаче нельзя просто складывать проценты 20+25=45% и вычислять 145% от 90 рублей! Это будет приводить к неверным решениям.

Ответ: 135.


Пятый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Ивану Кузьмичу начислена заработная плата 20000 рублей. Из этой суммы вычитается налог на доход физических лиц в размере 13 %. Сколько рублей он получит после уплаты подоходного налога?

Алгоритм выполнения:
  • Вариант 1.
  1. Вычесть из 100% налог в процентах.
  2. Найти 1% от начальной суммы, для этого сумму разделить на 100.
  3. Умножить стоимость 1% на искомое количество процентов.
  • Вариант 2.
  1. Вычесть из 100% налог в процентах.
  2. Полученные проценты перевести в десятичную дробь (разделить на сто).
  3. Найти процент от числа (число умножить на полученную десятичную дробь).
Решение:
  • Вариант 1.

Вычтем из 100% налог в процентах.

100 – 13 = 87 (%) – получит Иван Кузьмич после вычета налога.

Найдем 1 % от начальной суммы.

20000 : 100 = 200 (рублей) – составит 1%.

Найдем 87% от 20000.

87 · 200 = 17400 (рублей) – получит Иван Кузьмич.

  • Вариант 2.

Вычтем из 100% налог в процентах. 100 13 = 87 (%)

Полученные проценты переведем в десятичную дробь (разделить на сто). 87 : 100 = 0,87

Найдем процент от числа (число умножить на полученную десятичную дробь).

20000 · 0,87 = 17400 (рублей)

Ответ: 17400 рублей получит Иван Кузьмич.


Вариант третьего задания из ЕГЭ 2017 (1)

ЕГЭ по физике сдавали 25 выпускников школы, что составляет треть от общего числа выпускников. Сколько выпускников этой школы не сдавали экзамен по физике?

Решение:

Нам известно, что количество учеников, сдававших ЕГЭ по физике равно 25, и это составляет 1/3 от общего числа выпускников. Значит 25 - это 1/3, тогда общее число учеников:

25 • 3 = 75

Количество учеников, не сдававших ЕГЭ по физике, равно:

75 - 25 = 50

Ответ: 50