Задание №5 ЕГЭ по математике базового уровня


Значение выражений


В задании №5 ЕГЭ по математике базового уровня нам необходимо вычислить значение выражения, пользуясь различными правилами: формулами сокращенного умножения, знаниями тригонометрии, свойствами логарифмов и другими.


Теория к заданию №5


В данном задании, кроме операций со степенями, о которых мы говорили в прошлых заданиях, необходимо помнить формулы сокращенного умножения:

формулы сокращенного умножения

Кроме этого, очень часто встречаются задания на знания свойств логарифма:

свойства логарифма

Полезными будут представления о тригонометрической окружности, по которой можно определять знаки тригонометрических функций:

тригонометрическая окружность


Разбор типовых вариантов заданий №5 ЕГЭ по математике базового уровня


Вариант пятого задания(1)

Найдите значение выражения  image001

Алгоритм выполнения
  1. Представим угол 390° с учетом периодичности функции tg меньшим углом.
  2. Найдем таблице значений тригонометрических функций (в справочных материалах) значение tg полученного угла.
  3. Выполним умножение.
Решение:

Функция tg является периодической с периодом 180°, то есть каждый раз при увеличении или уменьшении угла на 180° значение tg повторяется.

То есть tg α = tg (α + 180°) = tg (α - 180°)

tg 390° = tg (390° - 180°) = tg 210° = tg (210° - 180°) = tg 30°

Найдем таблице значений тригонометрических функций (в справочных материалах) значение tg полученного угла.

tg 30° = √3/3

Подставим найденное значение в данное выражение.

20 · √3 · (√3/3) = (20 · √3 · √3)/3 = (20 · 3)/3 = 20

Решение в общем виде

Вычислим выражение, учитывая, что функция тангенс периодическая с периодом π радиан или 180°. Следовательно, угол 390° эквивалентен углу

image002

и получаем выражение:

image003

 

 

Ответ: 20.


Вариант пятого задания(2)

Найдите значение выражения  image001

Алгоритм выполнения
  1. Представим угол 420° с учетом периодичности функции tg меньшим углом.
  2. Найдем таблице значений тригонометрических функций (в справочных материалах) значение tg полученного угла.
  3. Выполним умножение.
Решение №1:

Функция tg является периодической с периодом 180°, то есть каждый раз при увеличении или уменьшении угла на 180° значение tg повторяется.

То есть

tg α = tg (α + 180°) = tg (α - 180°)

tg 390° = tg (420° - 180°) = tg 240° tg (240° - 180°) = tg 60°

Найдем таблице значений тригонометрических функций (в справочных материалах) значение tg полученного угла.

tg 60° = √3

Подставим найденное значение в данное выражение.

-50 · √3 · √3 = -50 · 3 = -150

Решение №2:

Заметим, что функция тангенс периодическая с периодом π радиан или 180°. Поэтому, тангенс угла 420° эквивалентен тангенсу угла в

image002 ,

получаем:

image003

 

 

Ответ: -150.


Вариант пятого задания(3)

Найдите значение выражения  image001

Алгоритм выполнения
  1. Объединим подкоренные выражения под один корень.
  2. Внесем под корень дробь.
  3. Сократим дробь под корнем.
  4. Представим произведение под корнем в виде произведения вторых степеней.
  5. Вынесем из под корня множители.
  6. Выполним умножение.
Решение:

Объединим подкоренные выражения под один корень. Имеем право так сделать использовав, свойство квадратного корня.

5/3 · √27 · √3 = 5/3 · √(27 · 3)

 

 

Внесем под корень дробь.

Корень квадратный, следовательно, чтобы внести дробь под знак корня нужно возвести ее в квадрат. То есть умножить сам на себя числитель и знаменатель.

(5/3)2 = (5 · 5)/(3 · 3)

Сократим дробь под корнем на три дважды.

Представим произведение под корнем в виде произведения вторых степеней.

 

 

Вынесем из под корня множители и выполним умножение.

 

 

Решение в общем виде:

 

 

Ответ: 15.


Вариант пятого задания (демонстрационный вариант 2018)

Найдите cos α, если sin α = 0,8 и 90° ‹ α ‹ 180°.

Алгоритм выполнения
  1. Запишем основное тригонометрическое тождество.
  2. Подставим в основное тригонометрическое тождество все известные данные.
  3. Решим полученное уравнение относительно cos α.
  4. Выбрать корни, подходящие к условию задания.
Решение:

Запишем основное тригонометрическое тождество.

sin2 α + cos2 α = 1

Подставим в основное тригонометрическое тождество все известные данные.

0,82 + cos2 α = 1

Решим полученное уравнение относительно cos α.

cos2 α – неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

cos2 α = 1 - 0,82

Чтобы найти вторую степень числа нужно число умножить само на себя.

0,82 = 0,8 · 0,8 = 0,64

cos2 α = 1 - 0,82 1 - 0,64 = 0,36

cos α = √0,36

cos α = 0,6 или -0,6

Условие 90° ‹ α ‹ 180° означает, что -1 ‹ соs α ‹ 0.

Следовательно данному условию удовлетворяет только один корень -0,6.

Ответ: -0,6.


Вариант пятого задания 2017 года (1)

Найдите значение выражения (2√13 −1)(2√13 +1).

Алгоритм выполнения

В данном задании необходимо сразу заметить формулу сокращенного умножения - разность квадратов (последняя формула сокращенного умножения в теории выше).

Решение:

После этого, решение задания сводится к следующему:

(2√13 −1)(2√13 +1) = (2√13)2 - 1 = 4 • 13 - 1 = 51

Ответ: 51.


Вариант пятого задания 2017 года (2)

Найдите значение выражения 5log56+1 .

Алгоритм выполнения

Сначала вспомним свойства степеней и разложим выражение следующим образом:

5log56 • 51

Затем вспомним определение и свойство логарифма - это вторая строчка из нашей теории:

Решение:

 Получим:

6•5 = 30

Ответ: 30


Вариант пятого задания 2019 года(1)

Найдите значение выражения C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\1.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Применяем ф-лу сокращенного умножения a2–b2=(a-b)(a+b).
  2. Используем определение кв.корня: (√a)2=a.
  3. Находим полученную разность целых чисел.
Решение:

Ответ: 8


Вариант пятого задания 2019 года(2)

Найдите значение выражения C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\2.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Применяем тождество loga(xy)=logax+logay.
  2. Преобразовываем множители, стоящие под знаком логарифма, в степени.
  3. Используем для выражения под знаком логарифма св-во степеней axbx=(ab)x.
  4. Используем св-во логарифмов xlogab=logabx.
  5. Применяем тождество logaa=1,.
Решение:

log627 + log68 = log627·8 = log633·23 = log6(3·2)3 = log663 = 3log66 = 3

Ответ:3


Вариант пятого задания 2019 года(3)

Найдите значение выражения C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\3.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Вносим множитель √6 в скобки.
  2. Выполняем умножение √24 и √6. Получим √144. Это число является полным квадратом: (√12)2.
  3. Перемножаем √6 и √6. Получаем (√6)2.
  4. Используя определение кв.корня (√а)2=а, находим, что (√12)2=12, а (√6)2=6.
  5. Находим разность полученных целых чисел.
Решение:

C:\Users\Ксенья\Desktop\6666.png

Ответ: 6


Вариант пятого задания 2019 года(4)

Найдите sinα, если C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\4.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Применим осн.тригонометрическое тождество. В тождество подставим данное в условии числовое значение для косинуса.
  2. Выполняем преобразование тождества, получаем числовой результат.
  3. Определяем знак результата, исходя из величины угла α.
Решение:

C:\Users\Ксенья\Desktop\корин.png

C:\Users\Ксенья\Desktop\син.png

Ответ: 0,4


Вариант пятого задания 2019 года(5)

Найдите значение выражения C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\5.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Выполняем 1-ю по приоритетности операцию – возведение в степень (в знаменателе). Для этого используем св-во степеней (ab)2=a2·b2. Далее для множителя (√13)2 применяем формулу, определяющую понятие кв.корня: (√а)2=а.
  2. Выполняем умножение в знаменателе.
  3. Представляем число 39 в числителе как произведение 3·13.
  4. Сокращаем дробь на 13.
  5. Переводим полученную обыкновенную дробь в десятичную.
Решение:

C:\Users\Ксенья\Desktop\55.png

Ответ: 0,75


Вариант пятого задания 2019 года(6)

Найдите значение выражения C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\6.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Применяем к показателю степени 2log37 св-во логарифмов logbyax=(x/y)logba. Получим log372.
  2. Применяем св-во логарифмов alogab=b. В результате знак логарифма исчезает, остается только выражение 72, которое было под знаком логарифма.
  3. Возводим 7 в квадрат.
Решение:

2log37 log372

3 = 3 = 72 = 49

Ответ:49


Вариант пятого задания 2019 года(7)

Найдите значение выражения C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\7.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Используем св-во корней √(a·b)=√a·√b. Таким способом √63 разложим на множители √9 и √7.
  2. Сгруппируем одинаковые множители √7. Получим (√7)2.
  3. Основываясь на определении кв.корня (√а)2=а, представляем √9=(√3)2.
  4. Возводим полученные числа в квадрат.
  5. Находим итоговое произведение.
Решение:

C:\Users\Ксенья\Desktop\к33.png

Ответ: 21


Вариант пятого задания 2019 года(8)

Найдите значение выражения C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\8.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Используем св-во степеней xa+b=xa·xb. Получим 2 множителя, первый из которых равен 7, а второй представляет собой степень с основанием 7 и показателем, содержащим логарифм.
  2. Для второго множителя применим св-во логарифмов alogab=b.
  3. Находим результирующее произведение.
Решение:

C:\Users\Ксенья\Desktop\аааааа.png

Ответ: 21


Вариант пятого задания 2019 года(9)

Найдите значение выражения C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\9.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Для cos 3900 используем ф-лу приведения cos (3600+α)=cos α. Получим cos 300=√3/2. Записываем получившееся выражение в виде дроби со знаменателем 2.
  2. Вычисляем произведение √3·√3 путем возведения в степень. Для этого используем определение кв.корня: (√а)2=а.
  3. Сокращаем 20 в числителе и 2 в знаменателе на 2.
  4. Находим конечное произведение.
Решение:

C:\Users\Ксенья\Desktop\тттт.png

Ответ: 30


Вариант пятого задания 2019 года(10)

Найдите значение выражения C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\10.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Преобразовываем часть выражения, взятую в скобки. Для этого представляем 49 как 72. Затем используем св-во логарифмов logbax=xlogba, а далее св-во logaa=1. Получаем 2.
  2. Применяем св-во логарифмов logaa=1.
Решение:

log2(log749) = log2(log772) = log2(2log77) = log22 = 1

Ответ:1