Задание №5 ЕГЭ по математике базового уровня


Значение выражений


Описание задания

В задании №5 ЕГЭ по математике базового уровня нам необходимо вычислить значение выражения, пользуясь различными правилами: формулами сокращенного умножения, знаниями тригонометрии, свойствами логарифмов и другими. Данное задание требует более глубоких знаний и значительно сложнее первого задания, где достаточно было знать элементарные математические операции.

Тематика заданий: значение выражений

Бал: 1 из 20

Сложность задания: ♦♦♦

Примерное время выполнения: 5-7 мин.

Теория к заданию №5

В данном задании, кроме операций со степенями, о которых мы говорили в прошлых заданиях, необходимо помнить формулы сокращенного умножения:

формулы сокращенного умножения

Кроме этого, очень часто встречаются задания на знания свойств логарифма:

свойства логарифма

Полезными будут представления о тригонометрической окружности, по которой можно определять знаки тригонометрических функций:

тригонометрическая окружность


Разбор типовых вариантов заданий №5 ЕГЭ по математике базового уровня


Во всех заданиях необходимо найти значение выражения.


Вариант 5МБ1

image001

Алгоритм выполнения
  1. Представим угол 390° с учетом периодичности функции tg меньшим углом.
  2. Найдем таблице значений тригонометрических функций (в справочных материалах) значение tg полученного угла.
  3. Выполним умножение.
Решение:

Функция tg является периодической с периодом 180°, то есть каждый раз при увеличении или уменьшении угла на 180° значение tg повторяется.

То есть tg α = tg (α + 180°) = tg (α - 180°)

tg 390° = tg (390° - 180°) = tg 210° = tg (210° - 180°) = tg 30°

Найдем таблице значений тригонометрических функций (в справочных материалах) значение tg полученного угла.

tg 30° = √3/3

Подставим найденное значение в данное выражение.

20 · √3 · (√3/3) = (20 · √3 · √3)/3 = (20 · 3)/3 = 20

Решение в общем виде

Вычислим выражение, учитывая, что функция тангенс периодическая с периодом π радиан или 180°. Следовательно, угол 390° эквивалентен углу

image002

и получаем выражение:

image003

 

 

Ответ: 20.


Вариант 5МБ2

image001

Алгоритм выполнения
  1. Представим угол 420° с учетом периодичности функции tg меньшим углом.
  2. Найдем таблице значений тригонометрических функций (в справочных материалах) значение tg полученного угла.
  3. Выполним умножение.
Решение №1:

Функция tg является периодической с периодом 180°, то есть каждый раз при увеличении или уменьшении угла на 180° значение tg повторяется.

То есть

tg α = tg (α + 180°) = tg (α - 180°)

tg 390° = tg (420° - 180°) = tg 240° tg (240° - 180°) = tg 60°

Найдем таблице значений тригонометрических функций (в справочных материалах) значение tg полученного угла.

tg 60° = √3

Подставим найденное значение в данное выражение.

-50 · √3 · √3 = -50 · 3 = -150

Решение №2:

Заметим, что функция тангенс периодическая с периодом π радиан или 180°. Поэтому, тангенс угла 420° эквивалентен тангенсу угла в

image002 ,

получаем:

image003

 

 

Ответ: -150.


Вариант 5МБ3

image001

Алгоритм выполнения
  1. Объединим подкоренные выражения под один корень.
  2. Внесем под корень дробь.
  3. Сократим дробь под корнем.
  4. Представим произведение под корнем в виде произведения вторых степеней.
  5. Вынесем из под корня множители.
  6. Выполним умножение.
Решение:

Объединим подкоренные выражения под один корень. Имеем право так сделать использовав, свойство квадратного корня.

5/3 · √27 · √3 = 5/3 · √(27 · 3)

 

 

Внесем под корень дробь.

Корень квадратный, следовательно, чтобы внести дробь под знак корня нужно возвести ее в квадрат. То есть умножить сам на себя числитель и знаменатель.

(5/3)2 = (5 · 5)/(3 · 3)

Сократим дробь под корнем на три дважды.

Представим произведение под корнем в виде произведения вторых степеней.

 

 

Вынесем из под корня множители и выполним умножение.

 

 

Решение в общем виде:

 

 

Ответ: 15.


Вариант 5МБ4

Найдите cos α, если sin α = 0,8 и 90° ‹ α ‹ 180°.

Алгоритм выполнения
  1. Запишем основное тригонометрическое тождество.
  2. Подставим в основное тригонометрическое тождество все известные данные.
  3. Решим полученное уравнение относительно cos α.
  4. Выбрать корни, подходящие к условию задания.
Решение:

Запишем основное тригонометрическое тождество.

sin2 α + cos2 α = 1

Подставим в основное тригонометрическое тождество все известные данные.

0,82 + cos2 α = 1

Решим полученное уравнение относительно cos α.

cos2 α – неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

cos2 α = 1 - 0,82

Чтобы найти вторую степень числа нужно число умножить само на себя.

0,82 = 0,8 · 0,8 = 0,64

cos2 α = 1 - 0,82 1 - 0,64 = 0,36

cos α = √0,36

cos α = 0,6 или -0,6

Условие 90° ‹ α ‹ 180° означает, что -1 ‹ соs α ‹ 0.

Следовательно данному условию удовлетворяет только один корень -0,6.

Ответ: -0,6.


Вариант 5МБ5

(2√13 −1)(2√13 +1).

Алгоритм выполнения

В данном задании необходимо сразу заметить формулу сокращенного умножения - разность квадратов (последняя формула сокращенного умножения в теории выше).

Решение:

После этого, решение задания сводится к следующему:

(2√13 −1)(2√13 +1) = (2√13)2 - 1 = 4 • 13 - 1 = 51

Ответ: 51.


Вариант 5МБ6

5log56+1 .

Алгоритм выполнения

Сначала вспомним свойства степеней и разложим выражение следующим образом:

5log56 • 51

Затем вспомним определение и свойство логарифма - это вторая строчка из нашей теории:

Решение:

 Получим:

6•5 = 30

Ответ: 30


Вариант 5МБ7

(√11-√3)(√11+√3)

Алгоритм выполнения
  1. Применяем формулу сокращенного умножения a2–b2=(a-b)(a+b).
  2. Используем определение кв.корня: (√a)2=a.
  3. Находим полученную разность целых чисел.
Решение:

Исходя из алгоритма, подставляем а=√11, а b=√3, тогда 11-3=8

Ответ: 8


Вариант 5МБ8

C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\2.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Применяем тождество loga(xy)=logax+logay.
  2. Преобразовываем множители, стоящие под знаком логарифма, в степени.
  3. Используем для выражения под знаком логарифма св-во степеней axbx=(ab)x.
  4. Используем св-во логарифмов xlogab=logabx.
  5. Применяем тождество logaa=1,.
Решение:

log627 + log68 = log627·8 = log633·23 = log6(3·2)3 = log663 = 3log66 = 3

Ответ:3


Вариант 5МБ9

C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\3.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Вносим множитель √6 в скобки.
  2. Выполняем умножение √24 и √6. Получим √144. Это число является полным квадратом: (√12)2.
  3. Перемножаем √6 и √6. Получаем (√6)2.
  4. Используя определение кв.корня (√а)2=а, находим, что (√12)2=12, а (√6)2=6.
  5. Находим разность полученных целых чисел.
Решение:

Ответ: 6


Вариант 5МБ10

Найдите sinα, если C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\4.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Применим основное тригонометрическое тождество. В тождество подставим данное в условии числовое значение для косинуса.
  2. Выполняем преобразование тождества, получаем числовой результат.
  3. Определяем знак результата, исходя из величины угла α.
Решение:

Ответ: 0,4


Вариант 5МБ11

C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\5.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Выполняем 1-ю по приоритетности операцию – возведение в степень (в знаменателе). Для этого используем св-во степеней (ab)2=a2·b2. Далее для множителя (√13)2 применяем формулу, определяющую понятие кв.корня: (√а)2=а.
  2. Выполняем умножение в знаменателе.
  3. Представляем число 39 в числителе как произведение 3·13.
  4. Сокращаем дробь на 13.
  5. Переводим полученную обыкновенную дробь в десятичную.
Решение:

Ответ: 0,75


Вариант 5МБ12

C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\6.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Применяем к показателю степени 2log37 св-во логарифмов logbyax=(x/y)logba. Получим log372.
  2. Применяем св-во логарифмов alogab=b. В результате знак логарифма исчезает, остается только выражение 72, которое было под знаком логарифма.
  3. Возводим 7 в квадрат.
Решение:

2log37 log372

3 = 3 = 72 = 49

Ответ:49


Вариант 5МБ13

C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\7.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Используем св-во корней √(a·b)=√a·√b. Таким способом √63 разложим на множители √9 и √7.
  2. Сгруппируем одинаковые множители √7. Получим (√7)2.
  3. Основываясь на определении кв.корня (√а)2=а, представляем √9=(√3)2.
  4. Возводим полученные числа в квадрат.
  5. Находим итоговое произведение.
Решение:

Ответ: 21


Вариант 5МБ14

C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\8.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Используем св-во степеней xa+b=xa·xb. Получим 2 множителя, первый из которых равен 7, а второй представляет собой степень с основанием 7 и показателем, содержащим логарифм.
  2. Для второго множителя применим св-во логарифмов alogab=b.
  3. Находим результирующее произведение.
Решение:

Ответ: 21


Вариант 5МБ15

C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\9.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Для cos 3900 используем ф-лу приведения cos (3600+α)=cos α. Получим cos 300=√3/2. Записываем получившееся выражение в виде дроби со знаменателем 2.
  2. Вычисляем произведение √3·√3 путем возведения в степень. Для этого используем определение кв.корня: (√а)2=а.
  3. Сокращаем 20 в числителе и 2 в знаменателе на 2.
  4. Находим конечное произведение.
Решение:

Ответ: 30


Вариант 5МБ16

C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\10.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Преобразовываем часть выражения, взятую в скобки. Для этого представляем 49 как 72. Затем используем св-во логарифмов logbax=xlogba, а далее св-во logaa=1. Получаем 2.
  2. Применяем св-во логарифмов logaa=1.
Решение:

log2(log749) = log2(log772) = log2(2log77) = log22 = 1

Ответ: 1

Даниил Романович

Автор статей и модератор разделов сайта.