Задание №5 ЕГЭ по математике профильного уровня


Простейшие уравнения


Задание №5 профильного уровня ЕГЭ по математике - решение простейшего уравнения, чаще всего степенного. Обычно, требуется сделать несколько операций и приравнять степени - после этого уравнение становится линейным и решается легко - как и любое линейное уравнение.


Разбор типовых вариантов заданий №5 ЕГЭ по математике профильного уровня


Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Найдите корень уравнения 3х-5=81

Алгоритм решения задания:
  1. Определяем вид уравнения.
  2. Представляем правую часть в виде степени.
  3. Отбрасываем основание и решаем уравнение.
  4. Записываем ответ.
Решение:

1. Данное уравнение относится к показательным. Поэтому решаем его, приведя к виду: аf(x)=ag(x).

2. Представляем правую часть уравнения 81 в виде степени с основанием 3: 81=34. Тогда уравнение примет вид: 3х-5=34.

3. Так как основания одинаковы, можно отбросить их. Получаем: х – 5=4.

Решаем полученное уравнение: х=4+5,

х=9.

Ответ: 9.


Второй вариант задания (из Ященко, №1)

Найдите корень уравнения http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/1_5.files/image001.gif

Алгоритм решения задания:
  1. Определяем вид уравнения.
  2. Представляем правую часть в виде степени с основанием 9.
  3. Отбрасываем основание и решаем уравнение.
  4. Записываем ответ.
Решение:

1. Данное уравнение является показательным. Решаем его, приводя к виду: аf(x)=ag(x).

2. Число 81 справа представить в виде http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/1_5.files/image002.gif , откуда получаем в правой части http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/1_5.files/image003.gif .

Исходное уравнение принимает вид:

http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/1_5.files/image004.gif

Так как у степеней в обеих частях уравнения равны, можно перейти к равенству степеней и решить уравнение:

http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/1_5.files/image005.gif

Ответ: 2.


Третий вариант задания (из Ященко, №4)

Найдите корень уравнения

Алгоритм решения задания:
  1. Определяем вид уравнения.
  2. Представляем правую часть в виде степени с основанием 9.
  3. Отбрасываем основание и решаем уравнение.
  4. Записываем ответ.
Решение:

1. Уравнение показательного вида, значит можно решить его приведя к виду: f(x)a=g(x)a

2. Число представляем в виде степени с основанием 8: , тогда исходное уравнение можем записать таким образом:

Поскольку степени равны, должны быть равны и их основания. Имеем:

Ответ: 5.


Четвертый вариант задания (из Ященко, №8)

Найдите корень уравнения

Алгоритм решения задания:
  1. Определяем вид уравнения.
  2. Представляем правую часть в виде логарифма с основанием 7.
  3. Отбрасываем логарифм и решаем уравнение.
  4. Проверяем корни.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Уравнение логарифмическое, приводимое к виду: logag(x)=logag(x).

2. Преобразуем правую часть уравнения так, чтобы там стоял логарифм с основанием 7:

Отбросываем знак логарифма, получим:

Проверяем полученный корень на принадлежность ОДЗ: 9 – (-18)=27>0, значит, корень принадлежит ОДЗ.

Ответ: -18.


Пятый вариант задания (из Ященко, №18)

Найдите корень уравнения

Алгоритм решения задания:
  1. Определяем вид уравнения.
  2. Представляем правую часть в виде логарифма с основанием 7.
  3. Отбрасываем логарифм и решаем уравнение.
  4. Проверяем корни.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Уравнение логарифмическое, приводимое к виду: logag(x)=logag(x).

2. Преобразуем правую часть уравнения, чтобы там стоял логарифм с основанием 4. Для этого используем свойства логарифмов:

log1625=log4225=1/2∙log425

Получаем уравнение:

2log4(2 – x)=log425

Решаем полученное уравнение:

http://self-edu.ru/htm/ege2016_36/files/12_5.files/image003.gif

Или 2 – x = - 5

x=2+5=7

Проверим на принадлежность ОДЗ: 2 – (-3)=5>0, корень принадлежит ОДЗ.

2 – 7 = -5 < 0, корень не принадлежит ОДЗ.

Ответ: -3.