Задание №7 ЕГЭ по математике базового уровня


Простейшие уравнения


В задании №7 базового уровня ЕГЭ по математике необходимо решить простейшие уравнения. Для этого нам понадобятся знания логарифмов, степеней и методы решения квадратных уравнений. Перейдем к рассмотрению и разбору подобных примеров.


Разбор типовых вариантов заданий №7 ЕГЭ по математике базового уровня


Вариант седьмого задания(1)

Найдите корень уравнения  image001

Алгоритм выполнения
  1. Раскрыть скобки с левой и с правой стороны равенства, применив формулы приведения.
  2. Все, выражения, содержащие переменную перенести в левую часть, а не содержащие в правую.
  3. Преобразовать левую часть.
  4. Преобразовать правую часть.
  5. Решить уравнение относительно x, то есть найти неизвестный множитель.
Решение:

Раскроем скобки с левой и с правой стороны равенства, применив формулы приведения.

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений.

(x + 3)2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = x2 + 6x + 9

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений.

(x - 9)2 = x2 - 2 · x · 9 + 92 = x2 - 18x + 81

После преобразования выражение примет вид:

x2 + 6x + 9 = x2 - 18x + 81

Все выражения, содержащие переменную перенесем в левую часть, а не содержащие – в правую.

При переносе из одной части равенства в другую знак меняется на противоположный.

x2 + 6x - x2 + 18x = 81 - 9

Преобразуем левую часть. Приведем подобные слагаемые. Объединим в скобки, сохранив знаки, те выражения, где содержится x2 и x.

x2 + 6x - x2 + 18x = (x2 - x2) + (6x +18x) = 0 + 24x = 24x

Выражение примет вид:

24x = 81 - 9

Преобразуем правую часть. 81 – 9 = 72

Выражение примет вид:

24x = 72

Решим уравнение относительно x, то есть найдем неизвестный множитель. Для того чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.

x = 72 : 24

x = 3

Решение в общем виде:

Раскроем скобки в уравнении, получим:

image002

 

 

 

Ответ: 3.


Вариант седьмого задания(2)

Найдите корень уравнения  image001

Алгоритм выполнения
  1. Раскрыть скобки с левой и с правой стороны равенства, применив формулы приведения.
  2. Все, выражения, содержащие переменную перенести в левую часть, а не содержащие в правую.
  3. Преобразовать левую часть.
  4. Преобразовать правую часть.
  5. Решить уравнение относительно x, то есть найти неизвестный множитель.
Решение:

Раскроем скобки с левой и с правой стороны равенства, применив формулы приведения.

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений.

(x + 2)2 = x2 + 2 · x · 2 + 22 = x2 + 4x + 4

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений.

(x - 8)2 = x2 - 2 · x · 8 + 82 = x2 - 16x + 64

После преобразования выражение примет вид:

x2 + 4x + 4 = x2 - 16x + 64

Все выражения, содержащие переменную перенесем в левую часть, а не содержащие – в правую.

При переносе из одной части равенства в другую знак меняется на противоположный.

x2 + 4x - x2 + 16x = 64 - 4

Преобразуем левую часть. Приведем подобные слагаемые. Объединим в скобки, сохранив знаки, те выражения, где содержится x2 и x.

x2 + 4x - x2 + 16x = (x2 - x2) + (4x +16x) = 0 + 20x = 20x

Выражение примет вид:

20x = 64 - 4

Преобразуем правую часть. 64 - 4 = 60

Выражение примет вид:

20x = 60

Решим уравнение относительно x, то есть найдем неизвестный множитель. Для того чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.

x = 60 : 20

x = 3

Решение в общем виде:

Раскроем скобки, получим:

image002

Ответ: 3.


Вариант седьмого задания(3)

Найдите корень уравнения  image001

Алгоритм выполнения
  1. Перенести вычитаемое в правую сторону равенства с противоположным знаком.
  2. Преобразовать правую часть с учетом свойства: loga x + loga y = loga (x · y).
  3. Приравнять логарифмические выражения. Можно так поступить, так как основания логарифмов в левой и правой части одинаковы.
  4. Решить уравнение относительно x.
Решение:

Перенесем вычитаемое в правую сторону равенства с противоположным знаком.

Преобразуем правую часть с учетом свойства: loga x + loga y = loga (x · y).

Выполним преобразование:

Приравняем логарифмические выражения. Можно так поступить, так как основания логарифмов в левой и правой части одинаковы.

Решим уравнение относительно x.

Ответ: 1.


Вариант седьмого задания (демонстрационный вариант 2018)

Найдите корень уравнения 3x− 3 = 81.

Алгоритм выполнения
  1. Привести выражения в степенях к одинаковому основанию. В данном случае - это 3. Теперь необходимо вспомнить, какой степенью тройки является 81.
  2. Когда основания равны, можно приравнять значения степеней

Если вы забыли, то для этого необходимо делить 81 на 3 до тех пор, пока не получим 3. Чтобы получить три из 81, нам нужно поделить 81 на 3 три раза: при первом делении мы получим 27, при втором - 9, при третьем - три.

Значит, 81 это три в четвертой степени. Запишем это:

Решение:

3x− 3 = 34

х - 3 = 4

Откуда:

х = 7

Ответ: 7


Вариант седьмого задания 2017 (1)

Найдите корень уравнения log2( x − 3) = 6 .

Алгоритм выполнения
  1. Логарифм по основанию два показывает нам число, в степень которого нам необходимо возвести основание, то есть двойку, чтобы получить число под логарифмом.
Решение:

x − 3 = 26

x − 3 = 64

x = 67

Ответ: 67


Вариант седьмого задания 2017 (2)

Найдите отрицательный корень уравнения x− x − 6 = 0.

Алгоритм выполнения
  1. Вычислить дискриминант
  2. Найти корни
  3. Выбрать необходимый корень

D = b− 4ac

Решение:

D = -(1)− 4 • 1 • (-6) = 25

x = (- b ±√D) : 2a

x = (1 + 5) : 2 = 3

x = (1 - 5) : 2 = -2

Так как нам необходим отрицательный корень - ответ -2

Ответ: -2.


Вариант седьмого задания 2019 года(1)

Решите уравнение х2 = –2х + 24.

Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе укажите больший из них.

Алгоритм выполнения
  1. Переносим влево часть ур-ния, стоящую справа от знака «=». Получаем кв.уравнение стандартного вида.
  2. Поскольку уравнение является приведенным, используем для нахождения корней т.Виета.
  3. Записываем в качестве ответа большее из полученных 2 чисел.
Решение:

х2 = –2х +24

х2 +2х – 24 = 0

По т.Виета х1+х2=–b, x1·x2=c. В нашем ур-нии b=2, c=24. Подбираем подходящую пару чисел, получаем: х1=–6, х2=4.

Поскольку требуется указать больший из корней, то ответом будет 4.

Ответ: 4


Вариант седьмого задания 2019 года(2)

Найдите корни уравнения 4х–6 = 64.

Алгоритм выполнения
  1. Представляем 64 как степень с основанием 4, т.е. приводим выражения справа и слева к степеням с одинаковым основанием.
  2. Опускаем одинаковые основания и переходим к равенству показателей. Ур-ние стало простейшим линейным.
  3. Находим корень ур-ния.
Решение:

4х–6 = 64

4х–6 = 43

х – 6 = 3

х = 9

Ответ: 9


Вариант седьмого задания 2019 года(3)

Найдите корень уравнения log3 (2x – 5) = 2.

Алгоритм выполнения
  1. Преобразуем часть уравнения справа от знака «=», используя св-ва логарифмов logxx=1 и logxyn=nlogxy.
  2. Переходим от равенства логарифмов к равенству выражений, стоящих под их знаками.
  3. Решаем полученное линейное ур-ние.
Решение:

log3 (2x – 5) = 2

log3 (2x – 5) = 2 · log33

log3 (2x – 5) = log332

2x – 5 = 32

2x – 5 = 9

2x = 14

x=7

Ответ: 7


Вариант седьмого задания 2019 года(4)

Найдите корень уравнения
C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\4.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Преобразовываем обе части ур-ния: приводим их к степеням с основанием 3. Для этого используем св-во степеней (1/а)х–х.
  2. Поскольку основания степеней слева и справа в ур-нии теперь одинаковы, то можем их опустить и приравнять показатели.
  3. Решаем полученное линейное ур-ние.
Решение:

x + 9 = –2

x = –2–9

x = 11

Ответ: 11


Вариант седьмого задания 2019 года(5)

Найдите корень уравнения (х – 8)2 = (х – 2)2.

Алгоритм выполнения
  1. Раскрываем скобки слева и справа, используя ф-лу сокращенного умножения (ху)2=х2–2хуу2.
  2. Переносим влево часть уравнения справа от знака «=». Справа получаем 0.
  3. Приводим подобные слагаемые. В результате уравнение стало линейным.
  4. Решаем полученное уравнение.
Решение:

(х – 8)2 = (х – 2)2

х2 – 2 · х ·8 + 82 = х2 – 2 · х · 2 + 22

х2 – 16х + 64 = х2 – 4х + 4

х2 – 16х +64 – х2 + 4х – 4 = 0

–12х + 60 = 0

–12х = –60

х = 5

Ответ: 5


Вариант седьмого задания 2019 года(6)

Найдите корень уравнения
C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\6.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Преобразовываем обе части ур-ния так, чтобы привести их к степеням с одинаковым основанием 7. Для выражения слева применяем св-во степеней (1/а)х–х.
  2. Применяем св-во показат.уравнений: если степени с одинаковыми основаниями равны, то равны и их показатели. Отсюда переходим к линейному ур-нию.
  3. Решаем его.
Решение:

–(x–5) = 2

5 – x = 2

–x = 2 – 5

x = 5 – 2

x = 3

Ответ: 3


Вариант седьмого задания 2019 года(7)

Решите уравнение х2 – 25 = 0

Алгоритм выполнения
  1. Переносим 25 в правую часть ур-ния.
  2. Выражаем из ур-ния х путем извлечения корня из 25.
  3. Определяем корни, сравниваем их, определяем больший.
Решение:

х2 – 25 = 0

х2 = 25

х = ±√25

х1 = –5, х2 = 5

Для ответа берем 5.

Ответ: 5


Вариант седьмого задания 2019 года(8)

Найдите корень уравнения
C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\8.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Применим св-во логарифмических равенств: если логарифмы с одинаковыми основания равны, то равны и их подлогарифменные выражения. В результате получаем равенство из выражений, стоящих под знаком логарифма.
  2. Решаем полученное линейное ур-ние.
Решение:

log5 (24 – 7x) = log5 3

24 – 7x = 3

–7x = 3 – 24

7x = 21

x = 3

Ответ: 3


Вариант седьмого задания 2019 года(9)

Найдите корень уравнения
C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\9.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Приводим обе части ур-ния к степеням с основанием 2. При этом для преобразования выражения слева используем св-во степеней (1/а)х–х.
  2. Получив слева и справа степени с одинаковым основанием, опускаем это основание и приравниваем показатели этих степеней. Получаем линейное ур-ние.
  3. Решаем его.
Решение:

2–(x–8) = 23

x+8 = 3

x = 3–8

x = 5

Ответ: 5


Вариант седьмого задания 2019 года(10)

Найдите корень уравнения C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\10.jpg

Алгоритм выполнения
  1. К левой части уравнения применяем св-во логарифмов loga(x/y)=logax–logay.
  2. Поскольку в обеих частях ур-ния имеем логарифмы по одинаковым основаниям, то можем их знаки, оставив только подлогарифменные выражения. Получаем линейное ур-ние.
  3. Решаем его.
Решение:

log3 (2x + 4) – log3 2 = log3 5

log3 (2x + 4)/2 = log3 5

log3 (x + 2) = log3 5

x + 2 = 5

x = 3

Ответ: 3

Даниил Романович

Автор статей и модератор разделов сайта.