Задание №7 ЕГЭ по математике базового уровня


Простейшие уравнения


В задании №7 базового уровня ЕГЭ по математике необходимо решить простейшие уравнения. Для этого нам понадобятся знания логарифмов, степеней и методы решения квадратных уравнений. Перейдем к рассмотрению и разбору подобных примеров.


Разбор типовых вариантов заданий №7 ЕГЭ по математике базового уровня


Первый вариант задания

 

Найдите корень уравнения  image001

Алгоритм выполнения:
  1. Раскрыть скобки с левой и с правой стороны равенства, применив формулы приведения.
  2. Все, выражения, содержащие переменную перенести в левую часть, а не содержащие в правую.
  3. Преобразовать левую часть.
  4. Преобразовать правую часть.
  5. Решить уравнение относительно x, то есть найти неизвестный множитель.
Решение:

Раскроем скобки с левой и с правой стороны равенства, применив формулы приведения.

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений. 

(x + 3)2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = x2 + 6x + 9

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений. 

(x - 9)2 = x2 - 2 · x · 9 + 92 = x2 - 18x + 81 

После преобразования выражение примет вид:

x2 + 6x + 9 = x2 - 18x + 81 

Все выражения, содержащие переменную перенесем в левую часть, а не содержащие – в правую.

При переносе из одной части равенства в другую знак меняется на противоположный.

x2 + 6x - x2 + 18x = 81 - 9

Преобразуем левую часть. Приведем подобные слагаемые. Объединим в скобки, сохранив знаки, те выражения, где содержится x2 и x.

x2 + 6x - x2 + 18x = (x2 - x2) + (6x +18x) = 0 + 24x = 24x

Выражение примет вид:

24x = 81 - 9

Преобразуем правую часть. 81 – 9 = 72

Выражение примет вид:

24x = 72

Решим уравнение относительно x, то есть найдем неизвестный множитель. Для того чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.

x = 72 : 24

x = 3

Решение в общем виде:

Раскроем скобки в уравнении, получим:

image002

Ответ: 3.


Второй вариант задания

Найдите корень уравнения  image001

Алгоритм выполнения:
  1. Раскрыть скобки с левой и с правой стороны равенства, применив формулы приведения.
  2. Все, выражения, содержащие переменную перенести в левую часть, а не содержащие в правую.
  3. Преобразовать левую часть.
  4. Преобразовать правую часть.
  5. Решить уравнение относительно x, то есть найти неизвестный множитель.
Решение:

Раскроем скобки с левой и с правой стороны равенства, применив формулы приведения.

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений. 

(x + 2)2 = x2 + 2 · x · 2 + 22 = x2 + 4x + 4

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений. 

(x - 8)2 = x2 - 2 · x · 8 + 82 = x2 - 16x + 64 

После преобразования выражение примет вид:

x2 + 4x + 4 = x2 - 16x + 64 

Все выражения, содержащие переменную перенесем в левую часть, а не содержащие – в правую.

При переносе из одной части равенства в другую знак меняется на противоположный.

x2 + 4x - x2 + 16x = 64 - 4

Преобразуем левую часть. Приведем подобные слагаемые. Объединим в скобки, сохранив знаки, те выражения, где содержится x2 и x.

x2 + 4x - x2 + 16x = (x2 - x2) + (4x +16x) = 0 + 20x = 20x

Выражение примет вид:

20x = 64 - 4

Преобразуем правую часть. 64 - 4 = 60

Выражение примет вид:

20x = 60

Решим уравнение относительно x, то есть найдем неизвестный множитель. Для того чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.

x = 60 : 20

x = 3

Решение в общем виде:

Раскроем скобки, получим:

image002

Ответ: 3.


Третий вариант задания

Найдите корень уравнения  image001

Алгоритм выполнения:
  1. Перенести вычитаемое в правую сторону равенства с противоположным знаком.
  2. Преобразовать правую часть с учетом свойства: loga x + loga y = loga (x · y).
  3. Приравнять логарифмические выражения. Можно так поступить, так как основания логарифмов в левой и правой части одинаковы.
  4. Решить уравнение относительно x.
Решение:

Перенесем вычитаемое в правую сторону равенства с противоположным знаком.

Преобразуем правую часть с учетом свойства: loga x + loga y = loga (x · y).

Выполним преобразование:

Приравняем логарифмические выражения. Можно так поступить, так как основания логарифмов в левой и правой части одинаковы.

Решим уравнение относительно x.

Ответ: 1.


Четвертый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Найдите корень уравнения 3x− 3 = 81.

В заданиях такого типа необходимо привести выражения в степенях к одинаковому основанию. В данном случае - это 3. Теперь необходимо вспомнить, какой степенью тройки является 81.

Если вы забыли, то для этого необходимо делить 81 на 3 до тех пор, пока не получим 3. Чтобы получить три из 81, нам нужно поделить 81 на 3 три раза: при первом делении мы получим 27, при втором - 9, при третьем - три.

Значит, 81 это три в четвертой степени. Запишем это:

3x− 3 = 34

Когда основания равны, можно приравнять значения степеней:

х - 3 = 4

Откуда:

х = 7

Ответ: 7


Вариант седьмого задания 2017 (1)

Найдите корень уравнения log2( x − 3) = 6 .

Логарифм по основанию два показывает нам число, в степень которого нам необходимо возвести основание, то есть двойку, чтобы получить число под логарифмом.

То есть:

x − 3 = 26

x − 3 = 64

x = 67

Ответ: 67


Вариант седьмого задания 2017 (2)

Найдите отрицательный корень уравнения x− x − 6 = 0.

Это простейшее квадратное уравнение и решим его стандартным методом - через вычисление дискриминанта.

D = b− 4ac

D = -(1)− 4 • 1 • (-6) = 25

Затем находим корни уравнения:

x = (- b ±√D) : 2a

x = (1 + 5) : 2 = 3

x = (1 - 5) : 2 = -2

Так как нам необходим отрицательный корень - ответ -2

Ответ: -2.