Задание №8 ЕГЭ по математике профильного уровня


Стереометрия


Задание №8 в профильном уровне ЕГЭ по математике проверяет базовые знания стереометрии. Задания в этом разделе простые, на базовые формулы - обычно на объемы простых стандартных фигур - цилиндра, куба, пирамиды, конуса.


Теория к заданию №8


Приведу формулы объема фигур, так данный материал довольно часто встречается.

объемы фигур ЕГЭ по математике


Разбор типовых вариантов заданий №8 ЕГЭ по математике профильного уровня


Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 2 раза больше первого? Ответ выразите в см.

Алгоритм решения:
  1. Определяем площадь основания первого и второго сосудов.
  2. Записываем формулы объемов и приравниваем их.
  3. Убираем одинаковые величины. Делаем вывод.
  4. Записываем ответ.
Решение:

1. Площадь основания первого сосуда определяется формулой

Диаметр второго сосуда в 2 раза больше. Значит площадь основания его равна

то есть в 4 раза больше:

2 Записываем формулы объема жидкости в каждом сосуде.

Так как объем жидкости остается постоянным, получаем уравнение:

Убираем одинаковые величины. Отсюда

Ответ: 4.


Второй вариант задания (из Ященко, №1)

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 28. Найдите объём цилиндра.

Алгоритм решения:
  1. Записываем формулу объема конуса.
  2. Записываем формулу объема цилиндра.
  3. Сравниваем формулы, делаем вывод.
  4. Вычисляем объем цилиндра.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Объем конуса определяем по формуле

где H – высота конуса; R – радиус основания конуса.

2. Объем цилиндра определяем по формуле

3. Сравниваем обе формулы. Легко видно, что объем цилиндра в 3 раза больше объема конуса.

4. Вычисляем объем цилиндра::

Ответ: 84.


Третий вариант задания (из Ященко)

Диагональ куба равна http://self-edu.ru/htm/ege2016_36/files/26_8.files/image001.gif . Найдите его объём.

Алгоритм решения:
  1. Выражаем диагональ куба, используя теорему Пифагора.
  2. Решаем полученное уравнение.
  3. Вычисляем объем.
  4. Записываем ответ.
Решение:

1. По тереме Пифагора диагональ грани куба определяется формулой:

Тогда диагональ куба

2. Отсюда

3. Объем куба равен

Ответ: 64.