Разбор и решение задания №10 ОГЭ по математике


Графики функций


задание 5 ОГЭ по математикеВ десятом задании ОГЭ по математике идет работа с графиками функций. В большинстве случаев требуется установить соответствие между графиком функции и математическим выражением (формулой). В задании сопоставляется различная информация о функциях. Необходимо находить и  использовать в выполнении задания область определения функции, ее промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, нули функции, уметь читать графики функций. Работать надо с функциями, описывающими прямую пропорциональную зависимость, линейными функциями, гиперболами, квадратичными функциями.

Хотя на самом экзамене мы ожидаем работу именно с графиками функций, тем не менее в некоторых заданиях дается вместо рисунков их описание. Это делается, чтобы подчеркнуть те детали, на которые надо обратить внимание при работе с графиками функций.

Задание № 5 несложное, тем не менее последние задания придуманы таким образом, чтобы любознательным школьникам было над чем подумать.

Ответом в задании 10 является набор цифр, описывающий соответствие между различными объектами.


Теория к заданию №10


Так как в данном задании речь идет о функциях и их графиках, приведем основные понятия и формулы.

На произвольном примере ознакомимся с исследованием функции:

  • область определения и множество значений
  • корни и критические точки
  • промежутки возрастания  убывания

исследование функции

Теперь рассмотрим данный материал на линейной функции:

y = kx + b

где  k – угловой коэффициент, b – свободный член

линейная функция

Рассмотрим случай квадратичной функции:

квадратичная функция

Также вспомним, что такое коренная функция и модуль:

коренная функция

функция модуль

Я разобрал три случая - случай с параболой и влияние коэффициентов на вид параболы - в первом примере. Во втором примере разобрана гипербола и общие закономерности зависимости общего вида графика от математического выражения. Третий случай рассматривает прямую и варианты её построения в зависимости от коэффициентов.


Разбор типовых вариантов задания №10 ОГЭ по математике


Первый вариант задания (параболы)

На рисунках изображены графики функций вида

y = ax² + bx + c

Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты:

А) a > 0, c > 0

Б) a < 0, c > 0

В) a > 0, c < 0

Графики:

Графики функций огэ по математике 5 задание

Решение:

Мы вспоминаем, за что отвечают коэффициенты a и при построении графиков функции вида

y = ax² + bx + c

Коэффициент a определяет направление ветвей параболы: если a > 0, то ветви направлены вверх, а если  a < 0, то ветви направлены вниз.

Таким образом, мы видим, что только у второй параболы ветви направлены вниз, а значит a < 0.

У первой и третьей ветви направлены вверх, то есть a > 0.

Далее мы смотрим, на что влияет коэффициент c.

Коэффициент c отвечает за положение параболы относительно оси x, или же отвечает за сдвиг по оси y, а именно:

если c > 0, то вершина параболы расположена выше оси х

если c < 0, то вершина параболы расположена ниже оси x

Так, у первой параболы c < 0, у второй и третьей c > 0.

Из всего вышеперечисленного можно найти ответ:

А) 3

Б) 2

В) 1


Второй вариант задания (гиперболы)

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции:

A) y = -3/x

Б) y = 3/x

В) y = 1/(3x)

Графики:

Графики функций огэ по математике 5 задание

Решение:

В данной ситуации можно воспользоваться двумя подходами — можно руководствоваться общими соображениями, а можно просто решить задачу подстановкой. Я рекомендую решать задачу общими соображениями, а проверять подстановкой.

Общие правила:

  • если уравнение гиперболы положительное (то есть не стоит знак -, как во втором и третьем случае), то график функции лежит в первой и третьей координатной четверти
  • если перед уравнением гиперболы стоит знак — (как в первом случае), то график лежит во второй и четвертой четвертях

Таким образом можно сразу определить, что первое уравнение соответствует графику под номером 2.

Второе правило, которым я пользуюсь, звучит так:

  • чем больше число в знаменателе гиперболы (рядом с x), тем сильнее гипербола жмется к осям координатной плоскости

и наоборот:

  • чем больше число в числителе уравнения гиперболы, тем слабее и медленнее график функции прижимается к осям

Следовательно, функция Б слабее прижимается к осям и ей соответствует график 3, а функции В соответствует график 1, так как она сильнее прижимается к осям.

Ответ:

A) 2

Б) 3

В) 1


Третий вариант задания (линейный график)

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции:

A) y = 3x

Б) y = -3x

В) y = (1/3)x

Графики:

Графики функций огэ по математике в 5 задании

Решение:

Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:

y = kx + b

График данной функции зависит от и b.

  • если k < 0,  то функция убывает, то есть линия идет сверху вниз, как на третьем рисунке
  • если k > 0, то функция возрастает, то есть линия идет снизу вверх, как на первых двух рисунках
  • коэффициент b определяет сдвиг по оси y, если b < 0, то прямая пересекает ось y ниже 0 в точке y = b, если  b > 0, то выше ноля в точке y = b
  • если k >1, то прямая идет круче, чем обычная y = x (как на втором и третьем графике), если k <1 , то положе, как на примере рисунка №1

Следовательно, графику y = 3x соответствует рисунок 2, так как прямая идет снизу вверх и она более крутая, чем кривая на рисунке 1, которому соответствует функция y = (1/3)x.

Графику 3 соответствует функция y = -3x так как k = -3 < 0, и график идет сверху вниз.

Ответ:

A) 2

Б) 3

В) 1


Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

5oge1) y = x²

2) y = x/2

3) y = 2/x

Решение:

Для решения данной задачи необходимо знать вид графиков функций, а именно:

y = x² - парабола, в общем виде это y = ax²+bx+c, но в нашем случае b = c = 0, а а = 1

x/2 - прямая, в общем виде график прямой имеет вид y = ax + b, в нашем случае b = 0,  а = 1/2

y = 2/x - гипербола, в общем виде график функции y = a/x + b, в данном примере b = 0, a = 2

Парабола изображена на рисунке А, гипербола на рисунке Б, а прямая - В.

Ответ:

А 1

Б 3

В 2


Четвертый вариант задания (параболы)

Установите соответствие между функциями и их графиками.

          ФУНКЦИИ

А) у=–х2–4х–3                    Б) у=–х2+4х–3                    В) у=х2+4х+3

Решение:

Сразу обратим внимание на вариант В. Эта функция единственная, имеющая положительный коэффициент при х2 (здесь а=1, т.е. а>0). При а>0 график параболы направлен ветками вверх. Такой график имеется только один – под №3. Кроме того, можно обратить внимание на коэф-т с. Она равен 3, т.е. с>0. Это указывает на то, что парабола должна пересечь ось Оу выше начала координат. Что и отображено на графике В. Получаем соответствие: В–3.

Оба других графика – 1-й и 2-й – пересекают ось Оу ниже начала координат, что соответствует значению с=–3<0 в обоих случаях.

Теперь проанализируем функции А и В с точки зрения коэффициента b. Известно, что если b>0, то вершина параболы должна располагаться левее начала координат, если b<0, то – правее. Поскольку у функции А b=–4<0, то ей должен соответствовать график №2. Т.к. у функции В b=4>0, значит, ей соответствует график №1. Получаем для ответа пары: А–2 и В–1.

Ответ:


Пятый вариант задания (линейная функция)

На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ГРАФИКИ:

КОЭФФИЦИЕНТЫ:

1) k<0, b<0                    2) k>0, b>0                    3) k>0, b<0

Решение:

Рассмотрим коэффициенты под №3. Если k<0, значит, график имеет тупой (>900) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b<0, то это говорит, что график пересекает ось ординат (Оу) ниже нуля. Эти два условия реализованы на графике В. Итак, получаем для ответа пару: В–3.

У двух других пар коэффициентов (№№ 1 и 2) зафиксировано, что k>0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положит.направлению оси Оx под острым углом (<900). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.

В 1-й паре коэффициентов b<0. Это означает, что соответствующий им график должен пересекать ось Оу в точке ниже начала координат. Таковым является график Б, и мы получаем пару Б–1. В паре коэффициентов №2 b>0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.

Ответ:

Ирина