Разбор и решение задания №10 ОГЭ по математике


Окружность, круг и их элементы


В 10 задании ОГЭ по математике необходимо решить простую задачу по геометрии. Для успешного решения необходимо обладать базовыми знаниями по геометрии вообще, так как сложно выделить какую-то одну тему, по которой даны задания. Это относится ко всему модулю геометрии. Я рекомендую повторить понятия центральные и вписанные углы, свойства касательных к окружности, взаимосвязь между радиусом описанной или вписанной окружности в геометрические фигуры - в первую очередь прямоугольный треугольник и квадрат.

По спецификации ОГЭ здесь могут встретиться задания, связанные с необходимостью нахождения длин, углов и площадей. Рекомендации к предыдущему заданию №9 используются и при выполнении этих заданий. В демонстрационном варианте ОГЭ предлагается задание, связанное с нахождением длины отрезка, лежащего внутри окружности.

Ответом в задании 10 является целое число или конечная десятичная дробь.


Теория к заданию №10


Несмотря на то, что в задании №10 могут потребоваться любые знания по геометрии, в данном разделе мы разберем теорию по теме "окружность".

Начнем рассмотрение с понятия вписанная окружность:

  1. Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника.
  2. Если окружность вписана в произвольный четырехугольник, тогда попарные суммы противолежащих сторон равны между собой: a + b = c + d

вписанная окружность

Длинна окружности и площадь:

длина и площадь окружности

Касательная и секущая:

  • Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
  • Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие точки.

касательная и секущая

Описанная окружность и её свойства:

  1. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его трем сторонам.
  2. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
  3. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда трапеция равнобочная.
  4. Если окружность описана около произвольного четырехугольника, тогда попарные суммы противолежащих углов равны между собой.

описанная окружность

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

  • Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен хорде.
  • В окружности равные хорды равноудалены от центра окружности.
  • Отрезки пересекающихся хорд связаны равенством:

хорда

Центральный и вписанный углы:

центральный и вписанный углы

Ниже я разобрал три различных примера 10 задания. Если у вас остались пожелания, или вы хотите разобрать задачу, которой здесь нет, напишите об этом в комментарии.


Разбор типовых вариантов заданий №10 ОГЭ по математике


Рассмотрим первый типовой вариант 10 задания:

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

решение 10 задания огэ по математике

Внимательно посмотрим на рисунок. Угол ABC опирается на дугу ADC, а угол CAD - на дугу DC. Угол, который нам необходимо найти - ABD, опирается на дугу AD - которая является частью дуги ADC за вычетом дуги DC. Значит, угол ABD равен разности углов ABC и CAD:

∠ABD = 92 - 60 = 32

Ответ: 32°


Рассмотрим второй вариант 10 задания:

Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 2º. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

решение 10 задания огэ по математике

Во-первых, касательные равны между собой по длине, а значит треугольник с основанием AB равнобедренный. Угол при вершине этого треугольника равен 2 градуса по условию, значит углы при основании равны:

(180 - 2) / 2 = 89°

Во-вторых, касательные перпендикулярны радиусу, то есть угол между ними и радиусом равен 90 градусов.

Заметим, что угол ABO, который необходимо найти, является частью угла между касательной и радиусом, а именно за вычетом угла, который мы нашли в первом пункте. Значит, этот угол равен:

90 - 89 = 1°

Ответ: 1


Разберем третий вариант 10 задания:

В треугольнике ABC известно, что AC = 16, BC = 12, угол C равен 90º. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

решение 10 задания огэ по математике

Для решения необходимо вспомнить, что центр описанной около прямоугольного треугольника окружности расположен в середине гипотенузы. То есть гипотенуза является диаметром, а её половина - радиусом.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB:

AB² = BC² + AC² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400

AB = √400 = 20

Гипотенуза равна 20, значит радиус - 10.

Ответ: 10


Оцените мой разбор задания, поделитесь с друзьями в соцсетях и задавайте вопросы в комментариях!