Разбор и решение задания №11 ОГЭ по математике


Арифметические и геометрические прогрессии


задание 6 ОГЭ по математикеВ одиннадцатом задании мы сталкиваемся с прогрессиями - общими понятиями.

Конечно, по каждой теме можно придумать очень сложные задачи, но на самом ОГЭ по этой теме они обычно простые.Главным здесь является понимание, что такое арифметическая и что такое геометрическая прогрессия.

Ответом в задании 11 является целое число или конечная десятичная дробь.


Теория к заданию №11


Начнем теоретическую справку об определениях прогрессий.

Арифметическая прогрессия:

Последовательность, у которой задан первый член a1, а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией.

an+1 = an + d

где d – разность прогрессии

арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия:

Последовательность, у которой задан первый член b1 не равен 0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q не равное 0, называется геометрической прогрессией.

bn+1 = bn q

где q – знаменатель прогрессии

геометрическая прогрессия

В первом варианте я разобрал, как найти разность арифметической прогрессии, если известны два её члена. Во втором варианте разобрано нахождение неизвестного члена геометрической прогрессии из ряда членов прогрессии. В третьем варианте представлено объяснение по поиску n-ого члена арифметической прогрессии.


Разбор типовых вариантов задания №11 ОГЭ по математике.


Первый вариант задания (нахождение разности прогрессии)

Дана арифметическая прогрессия a(n) в которой

a (3) = 6,9

a (16) = 26,4

Найдите разность прогрессии.

Решение:

Чтобы найти разность прогрессии в нашем случае, нужно разделить разницу между значениями членов прогрессии на количество членов (в нашем случае — это между 3 и 16).

Находим разницу между значениями  a (3) и a (16):

a (3) — a (16) = 26,4 — 6,9 = 19,5

Находим количество членов:

16 — 3 = 13

Находим разность прогрессии:

19,5 / 13 = 1,5

Ответ: 1,5


Второй вариант задания (нахождение неизвестного члена)

Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

-1, x, -49, -343, ….

Найдите x.

Решение:

Для того, чтобы найти x, необходимо вначале вычислить знаменатель прогрессии — для этого необходимо разделить последующий член на предыдущий:

-343 / -49 = 7

Затем, зная знаменатель прогрессии мы можем найти x, разделив последующий член (-49) на уже известный знаменатель 7.

x = -49 / 7 = -7

Ответ: -7


Третий вариант задания (нахождение n-ого члена)

Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии:  10, 6, 2, …

Найдите 101 член.

Решение:

Для решения данной задачи воспользуемся формулой, задающей арифметическую прогрессию:

an = a1 + (n-1) • d

В нашем случае:

a1 = 10

d = 6 — 10 = -4

Подставляем значения в формулу:

a101 = 10 + (101-1) • (-4) = -390

Ответ: -390


Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

В последовательности чисел первое число равно 6, а каждое следующее больше предыдущего на 4. Найдите пятнадцатое число.

Решение:

В данном задании нас проверяют на знание формулы арифметической прогрессии:

e7e1e680f87d6cad66c925b184e2054d

где n - номер члена прогрессии, d - разность, а а1 - первый член.

Решение:

Подставим в общую формулу известные из условия значения:

d = 4,

а1 = 6,

n = 15,

получим:

a15 = 6 + (15 - 1) • 4

вычислив, получаем значение 15 члена:

a15 = 62

Ответ: 62


Четвертый вариант задания (нахождение произвольного члена геометрической прогрессии)

Геометрическая прогрессия (bn) задана условиями:

b1=–2, bn+1=2bn.

Найдите b7.

Решение:

Искомый 7-й член прогрессии b7 будем искать по формуле:

b7=b1·q6.    (1)

Здесь b1 по условию дано, а знаменатель q нет. Но его можно определить, исходя из определения этой величины. Согласно определению, q=bn+1/bn. Используя второе условие задачи, получим, что q=2.

Теперь используем 1-е условие задачи (b1=–2) и найдем искомую величину по формуле (1):

b7=–2·26=–2·64=–128.

Ответ: –128


Пятый вариант задания (нахождение суммы n членов геометрической прогрессии)

Выписаны первые три члена геометрической прогрессии: 1512; –252; 42; … Найдите сумму первых четырёх ее членов.

Решение:

Сумму произвольного кол-ва членов геометрич.прогрессии будем искать по формуле:

1-й член прогрессии известен из условия и равен b1=1512. Требуемое число членов n=4.

Знаменатель прогрессии найдем как частное двух соседних членов прогрессии (2-го и 1-го или 3-го и 2-го и т.д.). Найдем его так:

По условию b2=–252, b3=42, поэтому

Отсюда получаем:

Ответ: 1295

Ирина