Разбор и решение задания №11 ОГЭ по математике


Треугольники, четырёхугольники, многоугольники и их элементы


В 11 задании нас ждут задачи с четырехугольниками, а именно трапецией, ромбами и произвольными параллелограммами. Необходимо знать формулы вычисления площади всех вышеперечисленных четырехугольников, а также их свойства.

В демонстрационном варианте ОГЭ предлагается задание, связанное с нахождением площади фигуры.

Как найти площадь треугольника, трапеции, параллелограмма, круга и сектора?

С одной стороны, мы знаем соответствующие формулы. Для выполнения большинства заданий этого будет вполне достаточно, но иногда надо проявить и определенную сообразительность. В некоторых случаях будет разумно представить
заданную геометрическую фигуру как сумму или как разность более простых фигур. Безусловно, площадь измеряется в соответствующих единицах. Например, если длины сторон фигуры заданы в сантиметрах, то вычисляемая площадь автоматически измеряется в квадратных сантиметрах. Чтобы не загромождать условие задачи информацией, которая при ее решении фактически не используется, единицы измерения, если они не существенны, не указаны.

Ответом в задании 10 является целое число или конечная десятичная дробь.


Теория к заданию №11


Приступим к разбору теории.

Выпуклый четырехугольник:

выпуклый четырехугольник

Правильный многоугольник:

  • Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.
  • Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и в него вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают.

правильный многоугольник

Ниже я привожу формулы для вычисления элементов произвольного правильного многоугольника: 

формулы многоугольников

Разберем пример четырехугольника - ромб.

Параллелограмм, все стороны которого равны называется ромбом.

  • Диагональ ромба является его осью симметрии.
  • Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • Диагонали являются биссектрисами углов.

ромб

Трапеция:

Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие не параллельны, называется трапецией.

трапеция

Ниже я разобрал типовые примеры 11 задания. Давайте приступим к их рассмотрению.


Разбор типовых вариантов задания №11 ОГЭ по математике


 Итак, давайте рассмотрим типовое задание № 11 модуля "Геометрия":

Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 35° и 30°. Найдите меньший угол параллелограмма.

решение 10 задания огэ по математике

Найдем угол BAD - это сумма углов, на которые диагональ делит этот угол, поэтому:

∠BAD = 35° + 30° = 65°

Вспоминаем, что в параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°.

Значит:

∠ABC = ∠ADC = 180 - 65 = 115°

∠BAD = ∠BCD = 65°

Так как нас просят найти меньший угол, то это 65.

Ответ: 65


Посмотрим на второй вариант 11 задания из ОГЭ по математике:

В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основаниям равен 45°. Найдите площадь трапеции.

решение 11 задания огэ по математикеПлощадь трапеции равна произведению полусуммы оснований, умноженную на высоту. Основания нам известны из условия, необходимо самим найти высоту:

решение 11 задания огэ по математике

После проведения высоты, у нас получается прямоугольный треугольник. Прямоугольный - потому что высота проводится к основанию под углом 90 градусов. Один из углов равен 45°, значит, и второй тоже, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Следовательно, треугольник равнобедренный.решение 11 задания огэ по математике

Проведя еще одну высоту, мы получим прямоугольник в центре, та с противоположной стороной, равной основанию 3.

Так как трапеция равнобедренная, то и треугольники равны, значит оставшаяся длина делится пополам:

( 9 - 3 ) / 2 = 3

А так как треугольники равнобедренные, то и высота равна 3.

Отсюда можем найти площадь:

S = ( a + b ) • h / 2 = ( 3 + 9 ) • 3 / 2 = 18

Ответ: 18


Третий вариант 11 задания:

Основания трапеции равны 10 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

решение 11 задания огэ по математике

Средняя линия трапеции является еще и средней линией для треугольников, на которые трапецию поделила её диагональ. Средняя линия треугольника равна половине основания, поэтому отрезки, на которые делит диагональ среднюю линию, будут равны:

10 / 2 = 5

11 / 2 = 5,5

Так как нас просят найти больший из отрезков, то ответ 5,5.

Ответ: 5,5


Оцените мой разбор задания, поделитесь с друзьями в соцсетях и задавайте вопросы в комментариях!