Разбор и решение задания №14 ОГЭ по математике


Уравнения, неравенства и их системы


В задании №14 проверяется умение решать уравнения, неравенства и их системы. Конечно, под такие слова подходит огромный спектр заданий. Уточнение, пожалуй, одно. Надо применять графическое представление решения и показа результатов этого решения. В демонстрационном варианте ОГЭ предложена система двух линейных неравенств и графические представления вариантов ответов. Полезно понимать, что главным здесь является решение конкретных неравенств и понимание геометрического смысла полученного решения.

Ответом в задании 14 является одна из цифр 1; 2; 3; 4, соответствующая номеру предложенного варианта ответа к заданию.


Теория к заданию №14


Определение:

Неравенством называется выражение вида:
a < b (a ≤ b), a > b (a ≥ b)

неравенства

Полезным для нас окажется метод интервалов:

метод интервалов


Разбор вариантов задания №14 ОГЭ по математике


Первый вариант задания

Укажите решение неравенства: 2 x — 3 ( x — 7) ≤ 3

Решение:

Для решения линейного неравенства достаточно выполнить действия, аналогичные действию решений линейных уравнений. Однако, в отличие от линейных уравнений следует проявлять внимательность при выполнении операций деления или умножения на отрицательное число - в этих случаях знак неравенства будет меняться на противоположный!

Для решения этого примера вначале раскроем скобки, не забывая, что -3 умножается на -7 и дает  + 21:

2 x - 3 x + 21 ≤ 3

Затем приводим подобные, перенося числа в правую сторону:

2 x - 3 x ≤ 3 - 21

- x ≤ -18

Нам необходимо умножить неравенство на -1, чтобы получить диапазон x, не забывая, что при этом меняется знак неравенства:

x ≥ 18

Таким образом, мы получаем, что x должен быть больше либо равен 18.

Ответ: [18; +∞)


Второй вариант задания

В данном случае мы имеем дело с квадратным неравенством:

Укажите множество решений неравенства:

7 x — x2 < 0

Решение:

Существуют несколько способов решения квадратных неравенств, но я приведу самый простой и надежный. В начале выносим x за скобку, так как это неполное квадратное неравенство:

x ( 7 - x ) < 0

Затем находим ноли функции x ( 7 - x ) = 0, приравнивая каждый множитель к нолю:

x = 0

7 - x = 0

Получаем:

x = 0

x = 7

Таким образом, мы получили три интервала:

( -∞ ; 0 )

( 0 ; 7 )

( 7 ; +∞)

Подставим любое значение x из первого интервала и посмотрим на получившийся ответ.

Подставим -1:

x ( 7 - x ) =  - 1 ( 7 - (-1) ) = -8

Значение отрицательно, значит в интервале ( -∞ ; 0 ) функция отрицательна, что нам и подходит для ответа, так как в условии:

x ( 7 - x ) < 0

Подставим 1:

x ( 7 - x ) = 1 ( 7 - 1 ) = 6

Значение положительно, и промежуток ( 0 ; 7 ) нам не подходит.

Подставим 8:

x ( 7 - x ) = 8 ( 7 - 8 ) = - 8

Значение отрицательно, и это подходит под условия, следовательно ответ:

( -∞ ; 0 ) и ( 7 ; +∞)

или графически:

Решение 8 задания ОГЭ по математике


Третий вариант задания

Укажите множество системы неравенств:

⌈ x — 4 ≥ 0

⌊ x — 0,3 ≥ 1

Решение:

Решение системы линейных неравенств сводится к решению линейного неравенства с дальнейшим анализом промежутков. В начале действуем аналогично первому случаю: переносим числа в правую часть, оставляя x слева:

⌈ x ≥ 4

⌊ x ≥ 1,3

В отличие от первого примера, решение более простое, но в данном случае нужно сравнить промежутки и выбрать общий. Первое неравенство требует, чтобы  x был больше 4, а второе - более 1,3, на координатной прямой это будет выглядеть следующим образом:

Решение 8 задания ОГЭ по математике

Промежутки перекрывают друг друга начина с 4, значит ответ выглядит следующим образом (не забываем, что неравенство нестрогое):

[ 4 ; + ∞ )  или

Решение 8 задания ОГЭ по математике


Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

Решите систему неравенств:81

На каком рисунке изображено множество её решений?

82

Решение:

Итак, решим систему неравенств - оставим х в левой части, а остальное перенесём в правую, получим:

х ≤ 0 -2,6

х ≥ 1 - 5

Вычислив, получаем ответ:

х ≤  -2,6

х ≥ -4

Найдем его на координатной прямой - это №2.

Ответ: 2


Четвертый вариант задания

Укажите решение неравенства:

Решение:

Выполняем тождественные преобразования неравенства и приводим его к простейшему виду. Для этого сначала группируем слагаемые, перенося те, что с «х», в левую сторону, а свободные члены в правую:

4х–6х≥–2–5

Приводим подобные:

–2х≥–7

Находим х. Знак неравенства при этом поменяется на противоположный, поскольку делить будем на –2, т.е. на отрицательное число:

х≤3,5

Далее на коорд.прямой теперь нужно отложить точку со значением 3,5, причем точка будет закрашенная, т.к. знак неравенства нестрогий:

Т.к. знак полученного неравенства «≤», то выделить следует часть прямой слева от точки 3,5:

Это графическое решение соответствует ответу под №2.

Ответ: 2


Пятый вариант задания

В данном случае мы имеем дело с квадратным неравенством:

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

Решение:

Тут нужно сразу отметить два важных момента.

  1. Графическим решением неравенств из вариантов ответа является парабола, которая пересекает координатную ось в точках, соответствующих корням неравенств.
  2. Т.к. все неравенства, представленные в вариантах ответов, имеют нестрогий знак, то точки пересечения корней неравенства с координатной осью будут закрашенными, т.е. входящими в искомые промежутки (решения).

Анализируем неравенства.

1) х2–36≤0

х2≤36

Корни этого неравенства равны ±6. Поскольку знак неравенства «меньше», то для ответа следует взять ту часть параболы, которая располагается ниже коорд.оси. Получаем:

Полученный промежуток-решение не соответствует заданному в качестве ответа в условии.

2) х2+36≥0

    х2≥–36

Это неравенство не имеет решений, поскольку для получения решения здесь требуется извлечь корень из отрицат.числа (из –36), а это невозможно.

3) х2–36≥0

    х2≥36

Корни неравенства – ±6. Т.к. знак неравенства «больше», то для ответа следует взять ту часть параболы, которая располагается выше коорд.оси. Получаем:

Здесь мы получили полное совпадение полученного решения с тем, которое представлено в условии задания.

4) х2+36≤0

    х2≤–36

Тут ситуация такая же, как и во 2-м неравенства. Решений оно не имеет.

Ответ: 3