Разбор и решение задания №9 ОГЭ по математике


Треугольники, четырёхугольники, многоугольники и их элементы


Перейдем к разбору модуля "Геометрия". В задании9 проверяется умение выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. По спецификации ОГЭ здесь могут встретиться задания, связанные с необходимостью нахождения длин, углов и площадей.

Проверьте, что вы не ошибаетесь в определениях тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике.

Кроме того, убедитесь, что все данные задачи отражены на вашем чертежеПри необходимости применяйте теорему Пифагора. Если сюжет задачи развивается в равнобедренном треугольнике, то учтите, что высота, опущенная из вершины такого треугольника, делит его на два равных прямоугольных треугольника и далее задача решается в прямоугольном треугольнике. Если события происходят в окружности, то, помимо всего прочего, надо учесть, что вписанный угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу. Пусть треугольник вписан в окружность. Если этот треугольник остроугольный, то центр окружности лежит внутри треугольника. Если этот треугольник тупоугольный, то центр окружности лежит вне треугольника. А если это прямоугольный треугольник, то центр окружности лежит на середине гипотенузы.

В 9 задании нам предстоит продемонстрировать свои знания в нахождении неизвестных элементов треугольника. Это могут быть углы, стороны, высоты, медианы или биссектрисы. Могут встретится задания на нахождение площади.


Теория к заданию №9


Так как задания №9 основаны на теории по теме "треугольники", рассмотрим базовые понятия, определения и формулы.

Вначале предлагаю рассмотреть углы на плоскости:

углы на плоскости

Многие задачи построены на нахождении медиан и биссектрис треугольника:

Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам.

  • Биссектриса делит противолежащую сторону на части , пропорциональные прилежащим сторонам: ab : ac = b : c
  • Биссектриса делит площадь треугольника, пропорционально прилежащим сторонам.
  • Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника.

биссектриса

Медиана:

медиана

Теперь вспомним основные формулы нахождения площади треугольника:

площадь треугольника

Во многих задачах встречается понятие средняя линия:

Средняя линия – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

  • Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине.
  • Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь которого равна одной четверти от исходного.

средняя линия

Теперь рассмотрим частные случаи треугольников - равнобедренный, равносторонний, прямоугольный.

Перейдем к рассмотрению равнобедренного треугольника:

Равнобедренный треугольник - треугольник, у которого две стороны равны.

равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника:

  • Углы, при основании треугольника, равны.
  • Высота, проведенная из вершины, является биссектрисой и медианой.

Рассмотрим равносторонний треугольник:

Равносторонний треугольник - треугольник, у которого все стороны равны.

  • Все углы равны 60°.
  • Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой.
  • Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

равносторонний треугольник

Прямоугольный треугольник:

прямоугольный треугольник

 


Разбор типовых вариантов заданий №9 ОГЭ по математике


Первый вариант задания

В треугольнике два угла равны 73° и 48°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Для решения этого задания достаточно знать правило - сумма углов в треугольнике равна 180°.

Нам известны два угла, значит можем найти третий:

180 - 73 - 48 = 59

Ответ: 59°


Второй вариант задания

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 20, сторона BC равна 58, сторона AC равна 64. Найдите MN.

Для решения этой задачи не нужно пользоваться всеми данными в условии. Для успешного решения необходимо знать, что такое средняя линия треугольника.

Средняя линия - это линия соединяющая середины сторон и параллельная основанию.

Средняя линия равна половине основания, которому она параллельна.

Таким образом, если точки M и N являются серединами сторон AB и BC, значит эта линия параллельна AC - третьей стороне. А это в свою очередь означает, что она равна половине AC:

MN =½ • AC = 64 / 2 = 32

Ответ: 32


Третий вариант задания

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 122°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

Если в треугольнике две стороны равны - значит он равнобедренный. А в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, угол в вершине равен 122°, значит сумма углов при основании равна:

180 - 122 = 58°

Так как углы при основании равны, значит угол BCA равен углу BAC:

∠BCA = ∠BAC

58° = ∠BCA + ∠BAC = 2 ∠BCA

∠BCA = 58 / 2 = 29°

Ответ: 29°


Четвертый вариант задания

Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите его медиану.

Для решения этой задачи необходимо знать формулу медианы в равностороннем треугольнике, или уметь выводить её из теоремы Пифагора. В данном случае мы воспользуемся готовой формулой, и я советую вам её запомнить, чтобы не тратить время на вывод в каждом случае:

m = ( a • √3 )/ 2

Где m - медиана в равностороннем треугольнике, а a - сторона. Таким образом, для решения данной задачи подставим значение в формулу:

m = ( 10√3 • √3 )/ 2 = ( 10 • 3 )/ 2 = 30 / 2 = 15

Ответ: 15


Пятый вариант задания

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите второй острый угол. Ответ дайте в градусах.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а в прямоугольном треугольнике один из углов прямой, то сумма двух острых углов равна 90°. Отсюда можно вывести следующее правило:

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

Следовательно, второй острый угол равен:

90 - 23 = 67°

Ответ:  67°.


Шестой вариант задания

В треугольнике ABC известно, что AC = 56, BM - медиана, BM = 48. Найдите AM.

Для решения необходимо вспомнить определение медианы.

Медиана - отрезок, проведенный из вершины и делящий противоположную сторону на два равных отрезка.

Таким образом, медиана BM делит сторону AC (противоположную вершине B) пополам, следовательно^

AM = ½ AC = ½ 56 = 28

Ответ: 28.


Седьмой вариант задания

Два катета прямоугольного треугольника равны 15 и 4. Найдите его площадь.

Формула площади для прямоугольного треугольника выглядит следующим образом:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Это следует из того, что один из катетов является высотой к основанию, которым является второй катет.

Исходя из вышесказанного, можем решить задачу:

S = ½ • 15 • 4 = 30

Ответ: 30.


Восьмой вариант задания

Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите его высоту.

Вспоминаем, что в равностороннем треугольнике высота является и медианой и биссектрисой.

Для медианы, а значит и для высоты, формулу я приводил чуть выше:

m = ( a • √3 )/ 2

Подставим значение:

m = ( 12√3 • √3 )/ 2 = ( 12 • 3 )/ 2 = 36 / 2 = 18

Ответ: 18.


Девятый вариант задания

Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Воспользуемся теоремой Пифагора:

c² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400

c = √400 = 20

Ответ: 20.


Десятый вариант задания

Биссектриса равностороннего треугольника равна 11√3. Найдите его сторону.

До этого мы искали медиану, биссектрису или высоту равностороннего треугольника по формуле:

m = ( a • √3 )/ 2

Здесь же нам необходимо решить обратную задачу, найти a, если известно m.

Выразим a:

a = ( 2 • m ) / √3

Подставим значение:

a = ( 2 • m ) / √3 =  ( 2 • 11 •  √3 ) / √3 = 22

Ответ: 22


Одиннадцатый вариант задания (демонстрационный вариант ОГЭ 2017)

Рассмотрим задание 9 из модуля Геометрия ОГЭ по математике 2016 года (демонстрационный вариант):

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123° . Найдите
величину угла ВАС. Ответ дайте в градусах.

9

Для решения этого задания нужно помнить два факта:

  • Внутренний угол с внешним углом дают в сумме 180°
  • Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Из первого пункта следует, что угол BCA = 180 - 123 = 57°

Из второго - что ∠BCA = ∠BAC = 57°

Ответ: 57°