Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы. При построении прямой АО образовалась точка пересечения этой прямой с окружностью, обозначим её буквой Е и соединим с точкой В и с точкой С. Получим вписанные углы АВЕ и АСЕ, опирающиеся на диаметр АЕ, следовательно угол АВЕ и АСЕ равны по 900. […]
Пусть O — центр данной окружности, а Q — центр окружности, вписанной в треугольник ABC . Точка касания M окружностей делит AC пополам по условию. Лучи AQ и AO — биссектрисы смежных углов, так как касательные к окружностям равноудалены от центра. Так как AQ и AO — биссектрисы смежных углов, то угол OAQ прямой — смежные углы в сумме дают 180°, […]
Алгоритм решения: Сделаем чертеж. Установим подобие треугольников AFM и ANF. Определим сторону FM. Определим ∠FNA. Найдем . Составим теорему синусов и найдем радиус окружности. Запишем ответ. Решение: 1. Рассмотрим треугольники AFM и ANF. У них: Угол A является общим, а по доказанному выше. Следовательно, треугольник AFM подобен треугольнику ANF по двум углам. Отсюда вытекает: 3. […]
Алгоритм решения: Сделаем чертеж. Определим равенство углов CDB и АВС. Определим соотношение отрезков, воспользовавшись свойством биссектрисы угла треугольника, и определим длину АВ. Покажем, что треугольники DAC и DCB подобны. Составим соотношения сторон подобных треугольников. Составим систему равенств. Решим систему. Запишем ответ. Решение: 1. Делаем чертеж. 2. Рассмотрим АСD. В нем, согласно свойству углов окружности, касательной […]
Алгоритм решения: Делаем чертеж. Определяем равенство угла между касательной и хордой и угла АВС. Определяем соотношение отрезков из свойства биссектрисы угла треугольника и найдем АВ. Показываем, что треугольники DAC и DCB подобны. Составляем соотношения сторон подобных треугольников. Составляем систему равенств. Решаем систему. Записываем ответ. Решение: 1. Выполняем чертеж данной задачи: 2. Рассматриваем АСD. В нем: […]