Задание №10 ЕГЭ по математике базового уровня


Вероятность и статистика


В задании №10 ЕГЭ по математике базового уровня нам предстоит решить задачу по теории вероятности. Задачи довольно простые и адаптированы под реальные жизненные ситуации, что делает их решение интересным для школьников. Разберем с Вами несколько подробных примеров.


 Разбор типовых вариантов задания №10 ЕГЭ по математике базового уровня


Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 35 спортсменов: 7 из России, 12 из Китая, 9 из Японии и 7 из США. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из России.

Алгоритм выполнения:
  1. Вспомнить определение вероятности.
  2. Определить из условия задачи необходимые величины.
  3. Подставить значения и вычислить вероятность.
Решение:

Вспомним определение вероятности.

Вероятность – это отношение возможности происшествия одного или нескольких конкретных событий к общему числу возможных результатов.

Для того, чтобы определить вероятность происшествия конкретного события(в данном случае – что первым будет россиянин) нужно разделить число благоприятных исходов на общее число событий.

Определим из условия задачи необходимые величины.

Вариантов благоприятного исхода 7, так как россиян 7 и каждый из них имеет равные шансы выступать первым.

Всего общее число вариантов 35, так как спортсменов всего 35 и каждый из них может выступать первым.

Подставим значения и вычислим вероятность.

7/35 = 1/5 = 0,2

Ответ: 0,2.


Второй вариант задания

Олег, Петя, Миша и Дима бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет не Миша.

Алгоритм выполнения:
  1. Вспомнить определение вероятности.
  2. Определить из условия задачи необходимые величины.
  3. Подставить значения и вычислить вероятность.
Решение:

Вспомним определение вероятности.

Вероятность – это отношение возможности происшествия одного или нескольких конкретных событий к общему числу возможных результатов.

Для того, чтобы определить вероятность происшествия конкретного события(в данном случае – что игру должен будет начинать не Миша) нужно разделить число благоприятных исходов на общее число событий.

Определим из условия задачи необходимые величины.

Вариантов благоприятного исхода 3, так как «не Миш» трое и каждый из них имеет равные шансы начинать игру.

Всего общее число вариантов 4, так как мальчиков всего 4 и каждый из них может начинать игру.

Подставим значения и вычислим вероятность.

3/4 = 0,75

Вариант решения в общем виде:

При бросании жребия начинает игру один из 4 мальчиков. Вероятность этого события составляет P = 1/4 (для любого мальчика, в том числе и для Миши). Тогда обратная вероятность того, что Миша не будет начинать игру, равна:

image001

Ответ: 0,75.


Третий вариант задания

Вася, Петя, Олег, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Вася или Петя.

Алгоритм выполнения:
  1. Вспомнить определение вероятности.
  2. Определить из условия задачи необходимые величины.
  3. Подставить значения и вычислить вероятность.
Решение:

Вспомним определение вероятности.

Вероятность – это отношение возможности происшествия одного или нескольких конкретных событий к общему числу возможных результатов.

Для того, чтобы определить вероятность происшествия конкретного события(в данном случае – что игру должен будет начинать Вася или Петя) нужно разделить число благоприятных исходов на общее число событий.

Определим из условия задачи необходимые величины.

Вариантов благоприятного исхода 2, так как Вася и Петя – это два мальчика, каждый из них имеет равные шансы начинать игру.

Всего общее число вариантов 4, так как мальчиков всего 5 и каждый из них может начинать игру.

Подставим значения и вычислим вероятность.

2/5 = 0,4

Решение в общем виде:

Всего при бросании жребия может быть n = 5 исходов (для 5 человек). Обозначим через событие А – жребий выпал Васе или Пете. Число благоприятных исходов для события A равно m = 2. Следовательно, искомая вероятность, равна:

image001

Ответ: 0,4.


Четвертый вариант задания

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,1. Найдите вероятность того, что в течение года обе лампы перегорят.

Алгоритм выполнения:
  1. Определить вероятность каждого события в отдельности.
  2. Перемножить вероятности событий. Это даст вероятность того, что события произойдут последовательно.
Решение:

Определим вероятность каждого события в отдельности.

Вероятность того, что перегорит первая лампа по условию 0,1. Вероятность того, что перегорит вторая лампа по условию 0,1.

Перемножим вероятности событий. Это даст вероятность того, что события произойдут последовательно.

image001

Ответ: 0,01.


Пятый вариант задания

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,15. Найдите вероятность того, что в течение года обе лампы перегорят.

Алгоритм выполнения:
  1. Определить вероятность каждого события в отдельности.
  2. Перемножить вероятности событий. Это даст вероятность того, что события произойдут последовательно.
Решение:

Определим вероятность каждого события в отдельности.

Вероятность того, что перегорит первая лампа по условию 0,15. Вероятность того, что перегорит вторая лампа по условию 0,15.

Перемножим вероятности событий. Это даст вероятность того, что события произойдут последовательно.

image001

Ответ: 0,0225.


Вариант десятого задания 2017

Из каждых 100 лампочек, поступающих в продажу, в среднем 3 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется исправной?

Данная задача даже проще, чем предыдущая. В начале, нам необходимо найти количество исправных лампочек:

100 - 3 = 97

После этого находим вероятность, она равна отношению количества исправных лампочек к общему количеству:

97 / 100 = 0,97

Ответ: 0,97



Вариант десятого задания 2019 года(1)

На семинар приехали 6 ученых из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Каждый ученый подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

Алгоритм выполнения
  1. Поскольку событие, описанное в условии, является независимым, то вероятность того, что ученый из России выступит именно 8-м, такая же, как и вероятность выступления под любых другим номером. Поэтому для решения можем применить формулу-определение для вероятности P=Nб/N, где Nб – кол-во благоприятствующих данному событию исходов, N – общее кол-во исходов.
  2. Подсчитываем общее кол-во исходов. Оно равно сумме всех докладов.
  3. Определяем кол-во благоприятствующих исходов как число докладов от российских ученых.
  4. Подставляем полученные данные в формулу, вычисляем вероятность.
Решение:

P=Nб/N

N=6+5+9=20

Nб=5

P=5/20=0,25


Вариант десятого задания 2019 года(2)

В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с черным и зеленым чаем, одинаковые на вид, причем пакетиков с черным чаем в 4 раза больше, чаем пакетиков с зеленым. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зеленым чаем.

Алгоритм выполнения
  1. Обозначаем через х кол-во пакетиков с зеленым чаем. Выражаем затем через х кол-во пакетиков с черным чаем.
  2. Записываем ф-лу для нахождения вероятности, имея в виду, что число благоприятствующих исходов равно кол-ву пакетиков зеленого чая, а общее число исходов – общему кол-ву пакетиков.
  3. Вычисляем вероятность.
Решение:

Пусть х – кол-во пакетиков зеленого чая. Тогда кол-во пакетиков черного составляет 4х.

Вероятность P=Nб/N. Здесь Nб=х, поскольку вероятность определяется именно для пакетиков с зеленым чаем. N=х+4х=5х.

Получаем: P=х/(5х)=1/5=0,2.


Вариант десятого задания 2019года(3)

В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекает. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Алгоритм выполнения
  1. Из 1400 вычитаем 14. Получаем кол-во исправных насосов.
  2. По ф-ле P=Nб/N (где Nб – кол-во исправных насосов, N – общее кол-во насосов) находим искомую вероятность.
Решение:

1400 – 14 = 1386 (шт.) – исправных насосов поступило в продажу.

1386 / 1400 = 0,99 – вероятность того, что случайно подобранный насос исправен (не подтекает).


Вариант десятого задания 2019 года(4)

В кармане у Дани было пять конфет – «Ласточка», «Взлетная», «Василек», «Грильяж» и «Гусиные лапки», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Даня случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что упала конфета «Взлетная».

Алгоритм выполнения
  1. Определяем общее кол-во конфет. Фиксируем, что упала единственная конфета.
  2. Применяя ф-лу для вероятности P=Nб/N, находим искомую вероятность.
Решение:

В кармане у Дани находится 6 предметов – 5 конфет и ключи. Ключи для расчета не учитываем, поскольку их извлечение из кармана не является случайным событием. Тогда общее кол-во случайных событий N=5. Кол-во благоприятных исходов для этих событий в данном случае равно 1, т.к. падает 1 конфета. Отсюда Nб=1.

Вероятность находим по ф-ле P=Nб/N. Подставляем числовые данные, получаем: P=1/5=0,2.


Вариант десятого задания 2019 года(5)

На борту самолета 26 мест рядом с запасными выходами и 10 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Д. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Д. достанется удобное место, если всего в самолете 300 мест.

Алгоритм выполнения
  1. Суммируем 26 и 10, чтобы найти общее кол-во удобных для пассажира Д. мест.
  2. Используя ф-лу P=Nб/N, где Nб – кол-во удобных мест, N – общее кол-во мест, находим искомую вероятность.
Решение:

26 + 10 = 36 – кол-во мест, которые удобны для пассажира Д

Р = 36 / 300 = 0,1233 – вероятность того, что при случайном выборе пассажиру достанется удобное место


Вариант десятого задания 2019 года(6)

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе не пишет, равна 0,21. Покупатель не глядя берет одну шариковую ручку из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Алгоритм выполнения
  1. Анализируем ситуацию, описанную в условии. Определяем, что существует только 2 варианта возможных событий.
  2. Находим искомую вероятность как разность единицы и вероятности того, что ручка пишет плохо.
Решение:

Вариантов событий в данном случае имеется два – ручка пишет хорошо или она пишет плохо. При этом ручка в любом случае будет из коробки взята, т.е. событие состоится. Это означает, что его вероятность равна 1.

Поскольку вероятность того, что ручка пишет плохо, составляет 0,21, то вероятность того, ручка будет писать хорошо, равна:

1 – 0,21 = 0,79.


Вариант десятого задания 2019 года(7)

На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трем аудиториям. В первых двух по 130 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчете выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Алгоритм выполнения
  1. Умножаем 130 на 2, получаем кол-во участников в первых двух аудиториях.
  2. Из 400 вычитаем полученное произведение. Узнаем, сколько участников находилось в запасной аудитории.
  3. Делим полученную разность на 400. Находим искомую вероятность.
Решение:

130 · 2 = 260 – участников писали олимпиаду в первых 2-х аудиториях.

400 – 260 = 140 – участников находилось в запасной аудитории.

Вероятность P = Nб / N. Здесь Nб = 140, N = 400.

Получаем: Р = 140 / 400 = 0,35.


Вариант десятого задания 2019 года(8)

В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдет в магазин?

Алгоритм выполнения
  1. Записываем ф-лу P=Nб/N, где Nб – кол-во благоприятных исходов для ситуации, N – общее кол-во исходов.
  2. Благоприятным исходом в данном случае является попадание туриста Д. в группу из 2 человек, которым нужно идти в магазин. Т.е. Nб=2.
  3. Общее кол-во исходов – число туристов, составляющих полную группу.
  4. Подставляем определенные числовые величины в ф-лу, находим искомую вероятность.
Решение:

Вероятность равна: P = Nб / N.

Nб = 2, т.к. по условию для похода в магазин требуется 2 человека.

N = 8, т.к. всего в группе 8 туристов.

Р = 2 / 8 = 0,25.


Вариант десятого задания 2019 года(9)

На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 1 с мясом, 12 с капустой и 3 с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что этот пирожок окажется с капустой.

Алгоритм выполнения
  1. Для вычисления вероятности используем ф-лу P=Nб/N, где Nб – кол-во благоприятных исходов ситуации, N – общее кол-во исходов.
  2. Определяем кол-во благоприятных исходов. Здесь таковым является кол-во пирожков с капустой.
  3. Находим общее кол-во исходов. Это – кол-во всех (любых) пирожков.
  4. Подставляем числовые данные в формулы, определяем требуемую вероятность.
Решение:

Искомую вероятность найдем по ф-ле P=Nб/N.

В данном случае Nб = 12, поскольку именно столько на тарелке пирожков с капустой.

Общее число исходов N = 1 + 12 + 3 = 16 (пирожков).

Р = 12 / 16 = 0,75.


Вариант десятого задания 2019 года(10)

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений – по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 14 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями.

Алгоритм выполнения
  1. Из 50 вычитаем 14. Получаем кол-во незапланированных выступлений, которые приходятся на 2–5-й дни.
  2. Полученную разность делим на 4, т.е. на кол-во дней, в течение которых будет заслушано выступление российского исполнителя. Получим кол-во выступлений, которые приходятся на каждый из этих дней.
  3. По ф-ле P=Nб/N (где Nб – кол-во выступлений в каждый из дней, кроме первого; N – общее кол-во выступлений в эти дни) находим искомую вероятность.
Решение:

50 – 14 = 36 – кол-во незапланированных выступлений, в числе которых как раз и предполагается выступление россиянина.

5 – 1 = 4 – кол-во дней, в течение которых распределены поровну 36 выступлений.

36 : 4 = 9 – кол-во выступлений, приходящихся на каждый день, начиная со 2-го.

Поскольку выступление в 3-й день, равно как и в любой другой, начиная со 2-го, является независимым и равновероятным событием, то вероятность его положит.исхода можно определить по ф-ле P=Nб/N. Здесь Nб = 9, N = 36. Тогда: Р = 9 / 36 = 0,25.