Задание №12 ЕГЭ по математике профильного уровня


Значения функции: наибольшее и наименьшее


В задании №12 ЕГЭ по математике профильного уровня нам необходимо найти наибольшее или наименьшее значение функции. Для этого необходимо воспользоваться, очевидно, производной. Посмотрим на типовом примере.


Разбор типовых вариантов заданий №12 ЕГЭ по математике профильного уровня


Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Найти точку максимума функции y = ln(x+4)2+2x+7.

Алгоритм решения:
  1. Определяем область определения функции.
  2. Находим производную.
  3. Определяем, в каких точках производная равна 0.
  4. Исключаем точки, не принадлежащие области определения.
  5. Среди оставшихся точек ищем значения х, в которых функция имеет максимум.
  6. Записываем ответ.
Решение:

1. Ищем значения х, при которых логарифм имеет смысл. Для этого решаем неравенство:

(x+4)2 > 0

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен. Решением неравенства будет лишь то значение х, при котором х+4≠ 0, т.е. при х≠-4.

2. Находим производную:

у’=(ln(x+4)2 + 2x + 7)’

По свойству логарифма получаем:

у’=(ln(x+4)2 )’+(2x)’+(7)’.

По формуле производной сложной функции:

(lnf)’=(1/f)∙f’. У нас f=(x+4)2

у, = (ln(x+4)2 )’+ 2 + 0 = (1/(x+4)2 )∙((x+4)2)’ + 2=(1/(x+4)2 2)∙(х2 + 8х + 16)’ +2=2(х + 4) /((х + 4)2) + 2

у’= 2/(х + 4) + 2

3. Приравниваем производную к нулю:

у, = 0 → (2+2∙(х + 4))/(х + 4)=0,

2 +2х +8 =0, 2х + 10 = 0,

2х = -10,

х = -5

Ответ: -5.


Второй вариант задания (из Ященко, №1)

Найдите точку минимума функции y = x – ln(x+6) + 3.

Алгоритм решения:
  1. Определяем область определения функции.
  2. Находим производную.
  3. Определяем, в каких точках производная равна 0.
  4. Исключаем точки, не принадлежащие области определения.
  5. Среди оставшихся точек ищем значения х, в которых функция имеет минимум.
  6. Записываем ответ.
Решение:

1. ОДЗ: .

2. Найдем производную функции:

3. Приравниваем полученное выражение к нулю:

4. Получили одну точку x=-5, принадлежащую области определения функции.

5. В этой точке функция имеет экстремум. Проверим, минимум ли это. При х=-4

При х=-5,5 производная функции отрицательна, так как

Значит, точка х=-5 является точкой минимума.

Ответ: -5.


Третий вариант задания (из Ященко, №12)

Найдите наибольшее значение функции http://self-edu.ru/htm/ege2016_36/files/6_12.files/image001.gif  на отрезке [-3; 1].

Алгоритм решения:.
  1. Находим производную.
  2. Определяем, в каких точках производная равна 0.
  3. Исключаем точки, не принадлежащие заданному отрезку.
  4. Среди оставшихся точек ищем значения х, в которых функция имеет максимум.
  5. Находим значения функции на концах отрезка.
  6. Ищем среди полученных значений наибольшее.
  7. Записываем ответ.
Решение:

1. Вычисляем производную от функции, получим

2. Приравниваем производную к нулю:

Решение уравнения дает два корня

 - не принадлежит множеству действительных чисел

.

3. Значение  и остается одна точка .

4. Вычисляем значения функции в точке -2 и на концах отрезка -3 и 1, получим:

Наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 48 в точке х=-2.

Ответ: 48.