Задание №16 ЕГЭ по математике профильный уровень


Планиметрия


В 16 задании профильного уровня ЕГЭ по математике - задача геометрическая, а именно планиметрическая. Уровень сложности высокий по шкале ЕГЭ и школьной геометрии, поэтому приступать к этому заданию необходимо с хорошей подготовкой. Я рекомендую приступать к задаче тем, кто более чем на 5 знает геометрию. Итак, приступим к рассмотрению одного из вариантов.


Разбор типовых вариантов заданий №16 ЕГЭ по математике профильного уровня


Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая АВ касается первой окружности в точке А, а второй – в точке В. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке С.

а) Докажите, что прямые AD и ВС параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Собственно, для полноты картины приведем чертеж:

решение задания №16 егэ по математике

а) Первая часть достаточно простая.

Обозначим центры окружностей О1 и О2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает АВ в точке М. По свойству касательных, проведенных из одной точки, АМ = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный. Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD перпендикулярна AB. Аналогично, получаем, что BC перпендикулярна AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

б) Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а вторая – радиус 1. Треугольники ВKC и AKD подобны, и коэффициент подобия равен 4. Для площадей же коэффициент равен 16.

У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно площадь AKB равна 4S. Аналогично, площадь CKD равна 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.

Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к АD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдем его из прямоугольного треугольника О2НО1:

решение задания №16 егэ по математике

Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и площадь AKB = 3,2

Ответ: 3,2