Задание №16 ЕГЭ по математике профильного уровня


Планиметрия


В 16 задании профильного уровня ЕГЭ по математике - задача геометрическая, а именно планиметрическая. Уровень сложности высокий по шкале ЕГЭ и школьной геометрии, поэтому приступать к этому заданию необходимо с хорошей подготовкой. Я рекомендую приступать к задаче тем, кто более чем на 5 знает геометрию. Итак, приступим к рассмотрению одного из вариантов.


Разбор типовых вариантов заданий №16 ЕГЭ по математике профильного уровня


Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Алгоритм решения:

а)

  1. Выполняем рисунок.
  2. Используем свойство касательной для определения вида треугольника
  3. Показываем, что AD  и  BC  параллельны.

б)

  1. Вводим определенность относительно радиусов окружностей. И доказываем подобие треугольников ВКС и АКD.
  2. Определяем отношение площадей.
  3. Определяем искомую площадь.
Решение:

а)

1. Выполняем рисунок, учитывая условие задачи.

http://reshuege.ru/get_file?id=10582

Пусть О1 и О2 центры данных окружностей, а М – точка пересечения общей касательной и касательной, проведенной в к окружностям в точке К.

2. По свойству касательных, проведённых из одной точки,  AM=KM  и.  KM=BN.  Треугольник  у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.

3. Вписанный угол  ∠AKD  прямой, поэтому он опирается на диаметр AD  Значит,  AD⊥AB.  Аналогично получаем, что  BC⊥AB  Следовательно, прямые  AD  и  BC  параллельны.

б)

1. Пусть радиус первой окружности равен 4, тогда радиус второй 1.

Рассмотрим треугольники  BKC  и  AKD .

 и общий угол.

По признаку подобия. Эти треугольники подобны.

Пусть  http://reshuege.ru/formula/a1/a1ef35de4c975d7e987c5a3b2deb39adp.png , тогда 

2. У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно,   то есть http://reshuege.ru/formula/9f/9fb4cbba99d590f9c203a071e34b3644p.png  Аналогично,  http://reshuege.ru/formula/be/be3f6a0adaac495ec4d3e451314797b4p.png  Площадь трапеции  ABCD  равна  25S

Вычисляем площадь трапеции  ABCD  Для этого опускаем на  AD  перпендикуляр  O2H Его длина равна высоте трапеции. Определяем его из треугольника  O2HO1 по теореме Пифагора:

3. Отсюда

 

Имеем:  25S=20  откуда  S=0,8

 

Ответ: 3,2.


Второй вариант (Из Ященко,№1)

В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.

а) Докажите, что ВМ = СМ.

б) Найдите угол ЛВС, если угол BCD равен 64°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.

Алгоритм решения:

а)

  1. Выполняем рисунок, исходя из условия.
  2. Устанавливаем соотношения между величинами.
  3. Делаем вывод

б)

  1. Проводим перпендикуляр к стороне ВС.
  2. Устанавливаем необходимые соответствия.
  3. Определяем искомую величину угла.
Решение:

а)

1. Выполняем рисунок, исходя из условия.

http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/1_16.files/image001.jpg

2. Прямые АВ и CD по условию пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой L. Тогда треугольник BLC подобен ALD, причем, коэффициент подобия равен 2, потому как ВС = 2AD. Значит, А и D являются серединами сторон BL и CL соответственно.

Тогда AM и DM — серединные перпендикуляры к сторонам треугольника BLC. Из этого вытекает, что М — центр окружности, описанной около него окружности.

3. Значит, BM = CM как радиусы этой окружности

б)

1. Пусть Н — середина ВС, тогда МН является серединным перпендикуляром к ВС. Тогда треугольники ВНМ и СНМ являются равнобедренными и прямоугольными. Потому ∠BCM=90° .

2. По свойству вписанного угла

,

Отсюда искомый угол

http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/1_16.files/image004.gif

Ответ: 710.