Задание №18 ЕГЭ по математике профильный уровень


Задачи с параметром


В 18 задании -  предпоследнем задании профильного уровня ЕГЭ по математике - необходимо продемонстрировать умение решать задачи с параметрами. В подавляющем большинстве данное задание представляет собой систему из двух уравнений с параметром а, и необходимо найти такие значения, при которых система будет вести себя заданным образом - иметь два или одно или вообще не иметь решений.


Разбор типовых вариантов заданий №18 ЕГЭ по математике профильного уровня


Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система:

решение задания №18 егэ по математике

имеет единственное решение.

Как я и говорил, мы имеем дело с системой, а именно двумя уравнениями окружности, которые нам необходимо проанализировать. Итак, если x больше ноля, то уравнение задаёт окружность ω1 с центром в точке C1 с радиусом 3, а если x меньше ноля, то оно задаёт окружность ω2 с центром в точке C2 (смотрите рисунок ниже).решение задания №18 егэ по математике

При положительных значениях а второе уравнение задаёт окружность ω с центром С в точке радиусом а. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения а, при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей ω1 и ω2.

Для этого, из точки С проведем луч СС1 и обозначим через А1 и В1 точки его пересечения с окружностью ω1, где А1 лежит между С и С1. Получаем:

решение задания №18 егэ по математике

  • При a < CA1 или a > CB1 окружности не пересекаются.
  • При CA1 < a < CB1 окружности имеют две общие точки.
  • При а = CA1 или a = CB1 окружности касаются.

Из точки С проведем луч СС2 и обозначим через А2 и В2 его точки пересечения с окружностью ω2, где А2 лежит между С и С2.

решение задания №18 егэ по математике

  • При a < CA2 или a > CB2 окружности не пересекаются.
  • При CA2 < a < CB2 окружности имеют две общие точки.
  • При а = CA2 или a = CB2 окружности касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность ω касается ровно одной из двух окружностей ω1 и  ω2 и не пересекается с другой.

Так как CA2 < CA1 < CB2 < CB1 , то нашему условию удовлетворяют только a = 2 и a = √65+3

Ответ: 2, √65+3