Задание №3 ЕГЭ по математике профильного уровня


Квадратная решетка и координатная плоскость


В задании №3 профильного уровня ЕГЭ по математике мы будем работать с фигурами на квадратных решетках - вычислять параметры фигур - стороны или площади, а также расстояния между точками. Приступим непосредственно к разбору типовых вариантов.


Разбор типовых вариантов заданий №3 ЕГЭ по математике профильного уровня


Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник. Найдите площадь.

Алгоритм решения:
  1. Подсчитываем длину основания и высоты.
  2. Записываем формулу вычисления площади.
  3. Вычисляем площадь.
  4. Записываем ответ.
Решение:

1. Подсчитываем длины основания и высоты:

основание = 6,

высота = 2.

2. Записываем формулу площади треугольника: S= ah|2.

3. Вычисляем площадь: S= 6∙2/2=6

Ответ: 6.


Второй вариант задания (из Ященко, №1)

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Алгоритм решения:
  1. Подсчитываем длину каждого основания и высоты трапеции.
  2. Записываем формулу длины средней линии трапеции.
  3. Вычисляем среднюю линию.
  4. Записываем ответ.
Решение:

1. По условию задачи каждая клетка представляет одну единицу длины. Тогда меньшее основание равно 3, большее – 4.

2. Длина средней линии трапеции находится по формуле

http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/1_3.files/image002.gif , где a и b – длина верхнего и нижнего оснований трапеции.

3. Имеем:

http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/1_3.files/image003.gif .

4. Значит, средняя линия равна 3,5.

Ответ: 3,5.


Третий вариант задания (из Ященко, №2)

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Алгоритм решения:
  1. Подсчитываем длину каждого основания и высоты трапеции.
  2. Записываем формулу длины средней линии трапеции.
  3. Вычисляем среднюю линию.
  4. Записываем ответ.
Решение:

1. По условию задачи каждая клетка представляет одну единицу длины. Тогда меньшее основание равно 2, большее – 6.

2. Длина средней линии трапеции находится по формуле

http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/1_3.files/image002.gif , где a и b – длина верхнего и нижнего оснований трапеции.

3. Имеем:

4. Значит, средняя линия равна 4.

Ответ: 4.


Четвертый вариант задания (из Ященко, №4)

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его биссектрисы, проведённой из вершины В.

Алгоритм решения:
  1. Проведем перпендикуряры из вершин Аи С.
  2. Построим биссектрису угла В.
  3. Покажем, что биссектриса параллельна высотам.
  4. Измерим длину биссектрисы.
  5. Запишем ответ.
Решение:

1. Проведем из вершин А и С отрезки АВ1 иСВ2, перпендикулярные прямой, содержащей вершину В на рисунке.

2. Построим биссектрису угла B.

3. Рассмотрим треугольники АВВ1 иВВ2С. Они прямоугольные, тогда из соотношений в прямоугольных треугольниках

Это означает, что углы АВB1 и СВB2 равны, так как равны тангенсы этих углов.

Раз равны углы, то стороны AB и BC расположены под одним углом относительно вертикали (На рисунке она проведена синим). Эта вертикаль является биссектрисой. Длина биссектрисы по рисунку равна 3.

Ответ: 3.


Пятый вариант задания (из Ященко, №7)

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Алгоритм решения:
  1. Рассмотрим рисунок и измерим основания.
  2. Проведем высоту.
  3. Запишем формулу площади трапеции.
  4. Вычислим площадь по формуле.
Решение:

1. На рисунке основания равны 3 и 8.

2. Опустим высоту. Она рана 3.

3. Формула трапеции: S=h(a+b)/2, где a,b – основания, h – высота.

4. Вычислим площадь, подставив значения: S=3∙(3+8)/2=16,5

Следовательно, площадь данной трапеции равна 16,5.

Ответ: 16,5.