Задание EF17562 • СПАДИЛО

С высоты Н над землёй начинает свободно падать стальной шарик, который через время t = 0,4 c сталкивается с плитой, наклонённой под углом 30° к горизонту. После абсолютно упругого удара он движется по траектории, верхняя точка которой находится на высоте h = 1,4 м над землёй. Чему равна высота H? Сделайте схематический рисунок, поясняющий решение.

📜Теория для решения: Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Посмотреть решение

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Построить на чертеже начальное и конечное положения тела. Выбрать систему координат.

3.Выбрать нулевой уровень для определения потенциальной энергии.

4.Записать закон сохранения энергии.

5.Решить задачу в общем виде.

6.Подставить числовые значения и произвести вычисления.

Решение

Запишем исходные данные:

• Время падения стального шарика: t = 0,4 c.

• Верхняя точка траектории после абсолютно упругого удара о плиту: h = 1,4 м.

• Угол наклона плиты: α = 30^о.

Построим чертеж и укажем на нем все необходимое:

Нулевой уровень — точка D.

Закон сохранения энергии:

E_k0 + E_p0 = E_k + E_p

Потенциальная энергия шарика в точке А равна:

E_pA = mgH

Кинетическая энергия шарика в точке А равна нулю, так как скорость в начале свободного падения нулевая.

В момент перед упругим ударом с плитой в точке В потенциальная энергия шарика минимальна. Она равна:

$E_{p B} = m g l_{1}$

Перед ударом кинетическая энергия шарика равна:

$E_{k B} = \frac{m v^{2}}{2}$

Согласно закону сохранения энергии:

$E_{p A} = E_{p B} + E_{k B}$

$m g H = m g l_{1} + \frac{m v^{2}}{2}$

Отсюда высота H равна:

$H = \frac{m g l_{1}}{m g} + \frac{m v^{2}}{2 m g} = l_{1} + \frac{v^{2}}{2 g}$

Относительно точки В шарик поднимется на высоту h – l₁. Но данный участок движения можно рассматривать как движение тела, брошенного под углом к горизонту. В таком случае высота полета определяется формулой:

$h - l_{1} = \frac{v^{2} {sin}^{2} . β}{2 g} = \frac{v^{2} {sin}^{2} . {(90 - 2 α)}^{o}}{2 g}$

Отсюда:

$l_{1} = h - \frac{v^{2} {sin}^{2} . {(90 - 2 α)}^{o}}{2 g}$

Шарик падал в течение времени t, поэтому мы можем рассчитать высоту шарика над плитой и его скорость в точке В:

$v = g t$

Следовательно:

$H = l_{1} + \frac{v^{2}}{2 g} = h - \frac{{(g t)}^{2} {sin}^{2} . {(90 - 2 α)}^{o}}{2 g} + \frac{{(g t)}^{2}}{2 g}$

$H = h - \frac{g t^{2} {sin}^{2} . (90 - 2 α)}{2} + \frac{g t^{2}}{2} = h - \frac{g t^{2}}{2} ({sin}^{2} . {(90 - 2 α)}^{o} - 1)$

$H = 1, 4 - \frac{10 \cdot {0, 4}^{2}}{2} ({sin}^{2} . {(90 - 60)}^{o} - 1)$

$H = 1, 4 - 5 \cdot 0, 16 ({sin}^{2} . 30^{o} - 1)$

$H = 1, 4 - 0, 8 ({(\frac{1}{2})}^{2} - 1) = 1, 4 - 0, 8 (\frac{1}{4} - 1)$

$H = 1, 4 + 0, 6 = 2 (м)$

Ответ: 20

Текст: Алиса Никитина, 1k 👀