---

Простейшие уравнения

---

Задание №5 профильного уровня ЕГЭ по математике — решение простейшего уравнения, чаще всего степенного. Обычно, требуется сделать несколько операций и приравнять степени — после этого уравнение становится линейным и решается легко — как и любое линейное уравнение.

---

Разбор типовых вариантов заданий №5 ЕГЭ по математике профильного уровня

---

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

[su_note note_color=»#defae6″]

Найдите корень уравнения 3^х-5=81

[/su_note]

Алгоритм решения задания:

1. Определяем вид уравнения.
2. Представляем правую часть в виде степени.
3. Отбрасываем основание и решаем уравнение.
4. Записываем ответ.

Решение:

1. Данное уравнение относится к показательным. Поэтому решаем его, приведя к виду: а^f(x)=a^g(x).

2. Представляем правую часть уравнения 81 в виде степени с основанием 3: 81=3⁴. Тогда уравнение примет вид: 3^х-5=3⁴.

3. Так как основания одинаковы, можно отбросить их. Получаем: х – 5=4.

Решаем полученное уравнение: х=4+5,

х=9.

Ответ: 9.

---

Второй вариант задания (из Ященко, №1)

[su_note note_color=»#defae6″]

Найдите корень уравнения

[/su_note]

Алгоритм решения задания:

1. Определяем вид уравнения.
2. Представляем правую часть в виде степени с основанием 9.
3. Отбрасываем основание и решаем уравнение.
4. Записываем ответ.

Решение:

1. Данное уравнение является показательным. Решаем его, приводя к виду: а^f(x)=a^g(x).

2. Число 81 справа представить в виде , откуда получаем в правой части .

Исходное уравнение принимает вид:

Так как у степеней в обеих частях уравнения равны, можно перейти к равенству степеней и решить уравнение:

Ответ: 2.

---

Третий вариант задания (из Ященко, №4)

[su_note note_color=»#defae6″]

Найдите корень уравнения

[/su_note]

Алгоритм решения задания:

1. Определяем вид уравнения.
2. Представляем правую часть в виде степени с основанием 9.
3. Отбрасываем основание и решаем уравнение.
4. Записываем ответ.

Решение:

1. Уравнение показательного вида, значит можно решить его приведя к виду: f(x)^a=g(x)^a

2. Число представляем в виде степени с основанием 8: , тогда исходное уравнение можем записать таким образом:

Поскольку степени равны, должны быть равны и их основания. Имеем:

Ответ: 5.

---

Четвертый вариант задания (из Ященко, №8)

[su_note note_color=»#defae6″]

Найдите корень уравнения

[/su_note]

Алгоритм решения задания:

1. Определяем вид уравнения.
2. Представляем правую часть в виде логарифма с основанием 7.
3. Отбрасываем логарифм и решаем уравнение.
4. Проверяем корни.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Уравнение логарифмическое, приводимое к виду: log_ag(x)=log_ag(x).

2. Преобразуем правую часть уравнения так, чтобы там стоял логарифм с основанием 7:

Отбрасываем знак логарифма, получим:

Проверяем полученный корень на принадлежность ОДЗ: 9 – (-18)=27>0, значит, корень принадлежит ОДЗ.

Ответ: -18.

---

Пятый вариант задания (из Ященко, №18)

[su_note note_color=»#defae6″]

Найдите корень уравнения

[/su_note]

Алгоритм решения задания:

1. Определяем вид уравнения.
2. Представляем правую часть в виде логарифма с основанием 7.
3. Отбрасываем логарифм и решаем уравнение.
4. Проверяем корни.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Уравнение логарифмическое, приводимое к виду: log_ag(x)=log_ag(x).

2. Преобразуем правую часть уравнения, чтобы там стоял логарифм с основанием 4. Для этого используем свойства логарифмов:

log₁₆25=log₄²25=1/2∙log₄25

Получаем уравнение:

2log₄(2 – x)=log₄25

Решаем полученное уравнение:

Или 2 – x = — 5

x=2+5=7

Проверим на принадлежность ОДЗ: 2 – (-3)=5>0, корень принадлежит ОДЗ.

2 – 7 = -5 < 0, корень не принадлежит ОДЗ.

Ответ: -3.