Задание №17 ЕГЭ по математике профильного уровня


Задачи на финансы


17 задание профильного уровня ЕГЭ по математике представляет собой задачу, связанную с финансами, а именно эта задача может быть на проценты, часть долгов и др. Сложность заключается в том, что необходимо рассчитать проценты или часть на длительном промежутке, поэтому данная задача не является прямой аналогией стандартных задач на проценты. Чтобы не говорить об общем, перейдем непосредственно к разбору типовой задачи.


Разбор типовых вариантов заданий №17 ЕГЭ по математике профильного уровня


Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

15-го  января  планируется  взять  кредит  в  банке  на  шесть  месяцев  в размере  1  млн  рублей.

Условия его возврата таковы:

  • 1-го  числа  каждого  месяца  долг  увеличивается  на  r  процентов  по  сравнению  с  концом предыдущего месяца, где r – целое число;
  • со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
  • 15-го  числа  каждого  месяца  долг  должен  составлять  некоторую  сумму  в  соответствии  со следующей таблицей.
Дата15.0115.0215.0315.0415.0515.0615.07
Долг (в млн рублей)10.60.40.30.20.10

Найдите  наибольшее  значение  r,  при  котором  общая  сумма  выплат будет  меньше  1,2 млн рублей.

Алгоритм решения:
  1. Рассматриваем, какова величина выплат по кредиту ежемесячно.
  2. Определяем долг по каждому месяцу.
  3. Находим величину требующихся процентов.
  4. Определяем сумму выплат за весь период.
  5. Вычисляем процент r суммы выплат долга.
  6. Записываем ответ.
Решение:

1. По условию, долг банку ежемесячно должен уменьшаться в таком порядке:

1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0.

2. Пусть k = 1 + r / 100, тогда долг каждый месяц равняется:

k; 0,6k; 0,4k; 0,3k; 0,2k; 0,1k.

3. Значит, выплаты со 2-го по 14-е ежемесячно составляют:

k - 0.6; 0.6k - 0.4; 0.4k - 0.3; 0.3k - 0.2; 0.2k - 0.1; 0.1k

4. Вся сумма выплат равна:

По условию, весь размер выплат меньше 1,2 млн руб, следовательно,

Наибольшим целым решением получившегося неравенства является 7. Тогда оно и есть искомое – 7.

Ответ: 7%.


Второй вариант (из Ященко, №1)

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы:

  • каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год — 240 000 рублей.

Алгоритм решения задачи:
  1. Определяем величину денежного долга.
  2. Вычисляем сумму задолженности после первого взноса.
  3. Находим величину долга после второго взноса
  4. Находим искомый процент.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. В долг было взято 300 000 рублей. По условию сумма долга, подлежащего возврату увеличивается на r%, а значит в  раз. Для выплаты долга необходимо отдать банку 300000∙k.

2. После внесения платежа, равного 160 000 рублей. Остаток долга равняется

 руб.

3. На следующий год остаток тоже возрастет в k раз и составит:

Вносимая сумма равна 240 000 рублей:

 рублей.

4. Поскольку согласно условию эти выплаты погасят весь долг, получаем квадратное уравнение:

Решаем его, с помощью формул дискриминанта и корней:

5 .Среди полученных корней один отрицательный и условию не удовлетворяет. Получаем:

Таким образом, брать кредит планируется под 20% .

Ответ: 20%.