Задание OM1420222

Определим, к какой последовательности относится наша задача. По условию имеем, что после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в 2 раза меньше предыдущей. Это геометрическая прогрессия. Теперь выпишем, что известно по условию и определим, что надо найти: первый член прогрессии b₁=400, знаменатель q=1\2, n – количество отскоков, значит, найти надо n при b_n<20.

Подставим в формулу n-ого члена геометрической прогрессии наши данные:

b_n=b₁q^n-1=400$\bullet$(${\frac{1}{2})}^{n-1}$<20

Разделим обе части неравенства на 400: (${\frac{1}{2})}^{n-1}$<$\frac{1}{20}$

Будем рассматривать случаи, начиная с n=3: (${\frac{1}{2})}^{3-1}$<$\frac{1}{20}$; (${\frac{1}{2})}^2$<$\frac{1}{20}$; (${\frac{1}{4})}^{}$<$\frac{1}{20}$ неверно

При n=4: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{4-1}$<$\frac{1}{20}$; $({\frac{1}{2})}^3$<$\frac{1}{20}$; $({\frac{1}{8})}^{}$<$\frac{1}{20}$ неверно

При n=5: $({\frac{1}{2})}^{5-1}$<$\frac{1}{20}$; $({\frac{1}{2})}^4$<$\frac{1}{20}$; $({\frac{1}{16})}^{}$<$\frac{1}{20}$ неверно

При n=6: $({\frac{1}{2})}^{6-1}$<$\frac{1}{20}$; $({\frac{1}{2})}^5$<$\frac{1}{20}$; ${\left(\frac{1}{32}\right)}^{}$<$\frac{1}{20}$ верно. Следовательно, после 6 отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 20 см.

К данной задаче можно сделать проверку, а также она является простейшим способом для её решения. Рассмотрим этот способ:

1 отскок – 400 см

2 отскок – 200 см (разделили на 2, так как по условию сказано, что с каждым отскоком высота уменьшалась в 2 раза)

3 отскок – 100 см

4 отскок – 50 см

5 отскок – 25 см

6 отскок – 12,5 см, а это меньше, чем 20 см, как требуется в условии. Поэтому пишем в ответ число 6.