Геометрическая прогрессия и сумма ее членов | теория по математике 🎲 последовательности

Определение

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Другими словами, последовательность (b_n) – геометрическая последовательность, если для натурального n выполняются условия:

b_n+1= b_n×q,

где q некоторое число, которое называется знаменатель прогрессии, и b_n≠0

Примером такой последовательности может быть ряд чисел 2; 10; 50; 250;…., откуда видно, что каждое последующее больше предыдущего в пять раз, значит, каждый член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число 5. Или, например, ряд чисел 20; -2; 0,2; -0,02……, где видно, что каждое последующее умножали на одно и то же число (-0,1).

Так как по определению геометрической прогрессии мы имеем одно и то же число, то это и есть число q. Оно называется «знаменатель» геометрической прогрессии. Он находится путем деления соседних членов – последующего на предыдущий, то есть $q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}}$ . Знаменатель не может быть равным нулю!

Для того чтобы задать геометрическую прогрессию, надо знать ее первый член и знаменатель. Например, если b₁=4, q=3, то получим прогрессию: 4; 12; 36; ….и так далее. Ну, а зная первый член и знаменатель, можно найти любой член геометрической прогрессии: b₂=b₁q; b₃=(b₁q)q=b₁q²; b₄==((b₁q)q)q=b₁q³. Так можно продолжать и дальше, но из этих записей видно, что можно найти n-ый член геометрической последовательности, если умножить первый член на знаменатель, степень которого на 1 меньше порядкового номера искомого члена, то есть $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ . Мы получили формулу n-ого члена геометрической прогрессии.

Формула n-ого члена геометрической прогрессии

$b_{n} = b_{1} \timesq^{n - 1}$

Рассмотри на примерах применение формулы $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ для указанного члена геометрической прогрессии.

Пример №1. Найти четвертый член геометрической прогрессии, если известно, что b₁=6, q=3. Составляем формулу для b₄:

$b_{4} = b_{1} q^{4 - 1} = b_{1} q^{3}$

Подставляем в формулу значения, указанные в задании и вычисляем результат: $b_{4} = 6 \times 3^{3} = 162$ .

Найти шестой член геометрической прогрессии 2; -6;……. Здесь для нахождения b₆ надо знать знаменатель q. Для его нахождения надо -6 разделить на 2, получим -3, то есть q=-3. Теперь составляем формулу для b₆, подставляем значения и вычисляем ответ:

$b_{6} = b_{1} q^{6 - 1} = b_{1} q^{5} = 2 \times {(- 3)}^{5} = - 486$

Свойство геометрической прогрессии

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов. Формула:

$b_{n}^{2} = b_{n - 1} \times b_{n + 1}$

Верным является и утверждение, обратное данному: если в последовательности чисел, отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность чисел является геометрической прогрессией.

Другими словами, с помощью данной формулы можно найти неизвестный член геометрической прогрессии, соседние члены которого известны. Рассмотрим применение данного свойства на примерах.

Пример №2. Найти b₅, если задана геометрическая прогрессия, в которой b₄=32, b₆=128. Составляем формулу, подставляем в нее значения и вычисляем:

$b_{5}^{2} = b_{5 - 1} \times b_{5 + 1} = b_{4} \times b_{6} = 32 \times 128 = 4096$

Этим действием мы нашли квадрат пятого члена геометрической прогрессии, поэтому извлекаем квадратный корень из числа 4096 для нахождения значения b₅: b₅= $\sqrt{4096}$ =64

Найти у, если дана геометрическая прогрессия …..24; у; 96. Видим, что у находится между соседними известными числами 24 и 96. Поэтому, следуя свойству, умножаем данные числа и извлекаем квадратный корень из полученного числа: у= $\sqrt{24 \times 96} = \sqrt{2304}$ =48.

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Формула суммы членов геометрической прогрессии с известными членами

$S_{n} = \frac{b_{n} q - b_{1}}{q - 1}$ , где q $\neq$ 1

Для нахождения суммы по данной формуле нужно знать первый и последний член геометрической прогрессии, а также ее знаменатель.

Также есть вторая формула, по которой можно находить сумму нескольких первых членов прогрессии, зная только первый ее член и знаменатель:

Формула суммы членов геометрической прогрессии с известным первым членом и знаменателем

$S_{n} = \frac{b_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1}$ , где q $\neq$ 1

Рассмотрим применение данных формул на примере, решив его двумя способами.

Пример №3. Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если известно, что b₁=2; b₅=162; q=-3.

Способ №1 (первая формула). Составим формулу для нахождения S₅:

$S_{5} = \frac{b_{5} q - b_{1}}{q - 1}$

Подставим значения b₁=2; b₅=162 и найдем результат:

$S_{5} = \frac{162 (- 3) - 2}{- 3 - 1}$ = $\frac{- 486 - 2}{- 4} = \frac{- 488}{- 4} = 122$

Способ №2 (вторая формула).

$S_{n} = \frac{b_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1}$

Для решения нам нужен первый член и знаменатель: b₁=2; q=-3. Составим формулу:

$S_{5} = \frac{b_{1} (q^{5} - 1)}{q - 1}$

Подставим в формулу данные значения и вычислим сумму:

$S_{5} = \frac{2 ({(- 3)}^{5} - 1)}{- 3 - 1} = \frac{2 (- 243 - 1)}{- 4} = \frac{- 488}{- 4} = 122$

Таким образом, мы увидели, что у нас получился один и тот же результат 122 в обоих способах решения. Выбор формулы зависит от данных в условии задачи.

Текст: Базанов Даниил, 10.4k 👀

Задание OM1420222

У Кати есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 400 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в 2 раза меньше предыдущей. После какого по счету отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 20 см?

Определим, к какой последовательности относится наша задача. По условию имеем, что после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в 2 раза меньше предыдущей. Это геометрическая прогрессия. Теперь выпишем, что известно по условию и определим, что надо найти: первый член прогрессии b₁=400, знаменатель q=1\2, n – количество отскоков, значит, найти надо n при b_n<20.

Подставим в формулу n-ого члена геометрической прогрессии наши данные:

b_n=b₁q^n-1=400 $∙$ ( ${\frac{1}{2})}^{n - 1}$ <20

Разделим обе части неравенства на 400: ( ${\frac{1}{2})}^{n - 1}$ < $\frac{1}{20}$

Будем рассматривать случаи, начиная с n=3: ( ${\frac{1}{2})}^{3 - 1}$ < $\frac{1}{20}$ ; ( ${\frac{1}{2})}^{2}$ < $\frac{1}{20}$ ; ( ${\frac{1}{4})}$ < $\frac{1}{20}$ неверно

При n=4: ${(\frac{1}{2})}^{4 - 1}$ < $\frac{1}{20}$ ; $({\frac{1}{2})}^{3}$ < $\frac{1}{20}$ ; $({\frac{1}{8})}$ < $\frac{1}{20}$ неверно

При n=5: $({\frac{1}{2})}^{5 - 1}$ < $\frac{1}{20}$ ; $({\frac{1}{2})}^{4}$ < $\frac{1}{20}$ ; $({\frac{1}{16})}$ < $\frac{1}{20}$ неверно

При n=6: $({\frac{1}{2})}^{6 - 1}$ < $\frac{1}{20}$ ; $({\frac{1}{2})}^{5}$ < $\frac{1}{20}$ ; ${(\frac{1}{32})}$ < $\frac{1}{20}$ верно. Следовательно, после 6 отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 20 см.

К данной задаче можно сделать проверку, а также она является простейшим способом для её решения. Рассмотрим этот способ:

1 отскок – 400 см

2 отскок – 200 см (разделили на 2, так как по условию сказано, что с каждым отскоком высота уменьшалась в 2 раза)

3 отскок – 100 см

4 отскок – 50 см

5 отскок – 25 см

6 отскок – 12,5 см, а это меньше, чем 20 см, как требуется в условии. Поэтому пишем в ответ число 6.

Ответ: 6

pазбирался: Базанов Даниил | обсудить разбор

Вся теория

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Задание OM1420222

Вся теория

Добавить комментарий Отменить ответ