Числовая последовательность | теория по математике 🎲 последовательности

В жизни мы часто встречаемся с последовательностями. Так, например, это может быть нумерация домов на улице – последовательность четных или нечетных номеров домов; последовательность кресел в каждом ряду кинотеатра (обычно увеличивается на одно-два с возрастанием номера ряда); последовательность роста ребенка ежегодно – рост увеличивается на определенное количество сантиметров.

В математике рассматривают числовые последовательности. Числовая последовательность – одна из основных тем в математике, так очень часто мы встречаемся с рядами чисел, с нумерованным списком чисел, с набором каких-либо объектов. Так, например, последовательность четных натуральных чисел, последовательность двузначных чисел и так далее. Также последовательности могут быть как конечными, так и бесконечными. Например, последовательность однозначных чисел – конечная, а последовательность всех отрицательных чисел – бесконечная.

Члены последовательности

Числа, которые образуют какую-либо последовательность, называются членами последовательности. Их обозначают буквой с индексом, индекс обозначает порядковый номер члена. Например, а₁, а₂, а₃ и так далее (читают так: «а первое, а второе, а третье и т.д.). Последовательность с номером n называют «энным» членом последовательности.

Для того чтобы задать необходимую последовательность, нужно указать способ, который позволит нам найти член последовательности с любым номером. Последовательности задают с помощью формулы n-ого члена или рекуррентным способом.

Рассмотрим работу с формулой n-ого члена.

Пример №1. Задана последовательность положительных четных чисел а_n=2n. Найти, какое число стоит в данной последовательности на 10 месте. Чтобы это определить, надо подставить вместо n в формулу число 10 и сосчитать полученный результат:

а₁₀=2×10=20.

Последовательность задана формулой а_n=11+3n. Определить первые три члена данной последовательности. Для этого мы последовательно будем подставлять в данную формулу числа 1, 2 и 3 вместо n: а₁=11+3$\times$1=14; а₂=11+3$\times$2=17; а₃=11+3$\times$3=20. Таким образом, данная последовательность начинается так: 14; 17; 20.

Рекуррентный способ

Рассмотрим рекуррентный способ задания последовательности. Он состоит в том, что указывают ее первый член или первые несколько членов и формулу, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько). Поэтому ее называют рекуррентной, в переводе с латинского – «возвращаться».

Пример №2. Найти второй, третий и четвертый члены последовательности, если известно, что первый равен 15, а каждый последующий больше предыдущего на 4. Имеем, что последовательность начинается с 15, а для второго к 15 прибавим 4, получим 19; теперь к 19 прибавим 4, получим 23; к 23 прибавим 4, получим 27. Данная последовательность выглядит так: 15; 19; 23; 27.

Найти количество мест в 6 ряду кинотеатра, если в первом их 18, а в каждом последующем на три больше. Обозначим для удобства решения с помощью буквы а с индексами 1, 2, 3 ,4, 5, 6 номера рядов в кинотеатре и записываем решение:

а₁=18

а₂=18+3=21

а₃=21+3=24

а₄=24+3=27

а₅=27+3=30

а₆=30+3=33

Итак, мы получили, что в 6 ряду 33 места.

Даниил Романович | Просмотров: 2.2k