Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора. | теория по математике 🎲 планиметрия

Определение

Если в треугольнике есть угол, равный 90 градусов, то такой треугольник называется прямоугольным. Стороны прямоугольного треугольника называются – катеты и гипотенуза. Катеты – это стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза – сторона, которая располагается напротив прямого угла.

На рисунке треугольник АВС – прямоугольный, угол С равен 90º, стороны АС и ВС – катеты, а сторона АВ – гипотенуза.

Свойства прямоугольного треугольника

  • В прямоугольном треугольнике гипотенуза является наибольшей стороной.
  • В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 300, равен половине гипотенузы. И обратно, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 300.

Например, пусть угол А=300, а гипотенуза АВ=28 см, то катет ВС будет равен 14 см, так как лежит напротив угла А=300. Или, например, если катет ВС=6 см, а гипотенуза АВ равна 12 см, то угол А (лежащий напротив катета ВС), равен 300.

  • Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна всегда 90 градусов.
  • Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине.

На рисунке изображен прямоугольный треугольник АВС, где CD – медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству – медиана CD=0,5АВ, то есть AD=DB=CD.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Существует 4 признака равенства прямоугольных треугольников:

  1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Чтобы быстрее запомнить данные признаки, можно использовать их краткую трактовку:

  1. по катетам;
  2. по катету и прилежащему острому углу;
  3. по гипотенузе и острому углу;
  4. по гипотенузе и катету.

Теорема Пифагора

Древнегреческий философ, ученый, математик – Пифагор Самосский вывел теорему, которая до сих применима для решения задач. Теорема названа в честь него – «теорема Пифагора».

Трактовка

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На рисунке в прямоугольном треугольнике АВ2=АС2+ВС2

Например, если в данном треугольнике катеты равны 9 и 12 см, то можно найти длину гипотенузы, используя теорему: АВ2=92+122=81+144=225=152, значит АВ=15 см.

Египетский треугольник

Определение

Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 см называют Египетским треугольником.

Пифагоровы тройки

Определение

Тройки чисел, которые удовлетворяют теореме Пифагора, называют Пифагоровы тройки, а сами числа – Пифагоровы числа. Например, такими являются числа 16, 12 и 20 – это числа, которые при подстановке в формулу теоремы, дают нам верное равенство: 162+122=202, 256+144=400, 400=400.

Текст: Базанов Даниил, 12k 👀

Вся теория

Натуральные числа • Отношение чисел • Обратные числа • Обыкновенные дроби • Десятичные дроби • Перевод обыкновенной дроби в десятичную и наоборот • Бесконечные дроби и иррациональные числа • Округление чисел • Действия с рациональными числами • Действия со степенями • Числовые и буквенные выражения. Порядок действий. • Одночлен и его стандартный вид • Многочлены. Действия с многочленами. • Формулы сокращенного умножения. Разложение на множители. • Алгебраические дроби • Линейное уравнение • Неполные квадратные уравнения • Квадратное уравнение. Дискриминант. Теорема Виета. • Биквадратные уравнения • Числовые неравенства и их свойства • Линейные неравенства с одной переменной • Квадратные неравенства с одной переменной • Метод интервалов • Числовая последовательность • Арифметическая прогрессия и сумма ее членов • Геометрическая прогрессия и сумма ее членов • Функция. Зависимые и независимые переменные. Область определения и область значений функции. • Свойства функции. Возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, нули, промежутки знакопостоянства. • Линейная функция, ее свойства и график • Парабола, график, вершина, нули. • Гипербола. График функции и свойства. • Угол. Биссектриса. Виды углов. • Прямая. Параллельные и перпендикулярные прямые. • Плоскость. Прямая. Луч. Отрезок. Серединный перпендикуляр. • Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия. • Равнобедренный и равносторонний треугольники • Признаки равенства треугольников • Неравенство треугольника • Окружность и круг • Вписанные и центральные углы, их свойства • Описанная и вписанная окружность • Четырехугольники • Умножение и его свойства • Шкала. Координатный луч. • Многоугольники. Равные фигуры. • Прямоугольный параллелепипед и его объем. Пирамида. • ВПР по Математике 8 класс • ВПР по математике 7 класс • ВПР по математике 6 класс • ВПР по математике 5 класс •