Квадратное уравнение. Дискриминант. Теорема Виета.

теория по математике 📈 уравнения

Определение

Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a,b,c – любые числа, причем a≠0, называют квадратным уравнением. Числа a,b,c принято называть коэффициентами, при этом a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.

Квадратное уравнение может иметь не более двух корней. Решить такое уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Дискриминант

Количество корней квадратного уравнения зависит от такого элемента, как дискриминант (обозначают его буквой D).

Нахождение корней квадратного уравнения

Дискриминант – это такой математический инструмент, который позволяет нам определять количество корней. Он выражается определенной формулой:

D=b2–4ac

  • Если D>0, то уравнение имеет два различных корня. Их находят по формуле:
Корни квадратного уравнения
  • Если D<0, то уравнение не имеет корней.
  • Если D=0, то уравнение имеет два равных корня, их записывают и находят как один:
Корень при D=0
Рассмотрим решение квадратных уравнений на примерах.

Пример №1. Решить уравнение х2–2х–3=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–2, c=–3. Находим дискриминант: D=b2–4ac=(–2)2–41(–3)=4+12=16. Видим, что дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два различных корня, находим их:

Пример №2. Решить уравнение 5х2+2х+1=0. Определяем коэффициенты: а=5, b=2, c=1. D=b2–4ac=22–4=4–20=–16, D<0, уравнение не имеет корней.

Пример №3. Решить уравнение х2–6х+9=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–6, c=9.

D=b2–4ac=(–6)2–4=36–36=0, D=0, 1 корень

Теорема Виета

Приведенные квадратные уравнения

Среди квадратных уравнений встречаются такие, у которых первый коэффициент равен 1 (обратим внимание на пример 1 и 3), такие уравнения называются приведенными.

Приведенные квадратные уравнения можно решать не только с помощью дискриминанта, но и с помощью теоремы Виета.

Теорема Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком; произведение корней равно третьему коэффициенту.

х12= –b

х1•х2= с

Корни с помощью данной теоремы находятся устно способом подбора. Рассмотрим это на примерах.

Пример №4. Решить уравнение х2–10х+21=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=–10, c=21. Применим теорему Виета:

х12=–(–10)=10

х1х2=21

Начинаем с произведения корней, которое является положительным числом, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Предполагаем, что это могут быть либо 3 и 7, либо противоположные им числа. Теперь смотрим на сумму, она является положительным числом, поэтому нам подходит пара чисел 3 и 7. Проверяем: 3+7=10, 37=21. Значит, корнями данного уравнения являются числа 3 и 7.

Пример №5. Решить уравнение: х2+5х+4=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=5, c=4. По теореме Виета:

х12=–5

х1х2=4

Видим, что произведение корней равно 4, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Видим, что сумма отрицательная, значит, будем брать два отрицательных числа, нам подходят –1 и –4. Проверим:

–1+(–4)=–5

(–1)(–4)=4

Ответ: –1 и –4
Задание OM2002 Решить уравнение: х22х+5х=5х+24

Данное уравнение является квадратным. Но в его условии присутствует квадратный корень, что усложняет нам задачу для нахождения его корней, в том плане, что необходимо увидеть, какие же ограничения на переменную х здесь будут.

Записываем обязательно в начале решения, что подкоренное выражение может быть только равным нулю или положительным числом (правило извлечения квадратного корня): ограничение на х: 5х0

Решаем полученное неравенство: х5, отсюда х5. Следовательно, для ответа мы будем выбирать значения, которые меньше или равны 5.

Решаем наше квадратное уравнение, перенося все слагаемые из правой части в левую, изменяя при этом знаки на противоположные и приводя подобные слагаемые (выражения с квадратным корнем взаимоуничтожаются):

  х22х+5х  5х 24=0

Получим приведенное квадратное уравнение, корни которого можно найти подбором по теореме Виета:

 х22х 24=0

Итак, корнями уравнения х22х 24=0 будут числа -4 и 6.

Теперь выбираем корень, обращая внимание на наше ограничение на х, т.е. корень должен быть меньше или равен 5. Таким образом, запишем, что 6 – это посторонний корень, так как 6 не5, а число минус 4 записываем в ответ нашего уравнения, так как 45 .

Ответ: -4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Алла Василевская | Просмотров: 5.1k | Оценить:

Добавить комментарий



Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *