👀 789 |

Квадратное уравнение. Дискриминант. Теорема Виета.

теория по математике 📈 уравнения

Определение

Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a,b,c – любые числа, причем a≠0, называют квадратным уравнением. Числа a,b,c принято называть коэффициентами, при этом a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.

Квадратное уравнение может иметь не более двух корней. Решить такое уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Дискриминант

Количество корней квадратного уравнения зависит от такого элемента, как дискриминант (обозначают его буквой D).

Нахождение корней квадратного уравнения

Дискриминант – это такой математический инструмент, который позволяет нам определять количество корней. Он выражается определенной формулой:

D=b2–4ac

  • Если D>0, то уравнение имеет два различных корня. Их находят по формуле:
Корни квадратного уравнения
  • Если D<0, то уравнение не имеет корней.
  • Если D=0, то уравнение имеет два равных корня, их записывают и находят как один:
Корень при D=0
Рассмотрим решение квадратных уравнений на примерах.

Пример №1. Решить уравнение х2–2х–3=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–2, c=–3. Находим дискриминант: D=b2–4ac=(–2)2–41(–3)=4+12=16. Видим, что дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два различных корня, находим их:

Пример №2. Решить уравнение 5х2+2х+1=0. Определяем коэффициенты: а=5, b=2, c=1. D=b2–4ac=22–4=4–20=–16, D<0, уравнение не имеет корней.

Пример №3. Решить уравнение х2–6х+9=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–6, c=9.

D=b2–4ac=(–6)2–4=36–36=0, D=0, 1 корень

Теорема Виета

Приведенные квадратные уравнения

Среди квадратных уравнений встречаются такие, у которых первый коэффициент равен 1 (обратим внимание на пример 1 и 3), такие уравнения называются приведенными.

Приведенные квадратные уравнения можно решать не только с помощью дискриминанта, но и с помощью теоремы Виета.

Теорема Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком; произведение корней равно третьему коэффициенту.

х12= –b

х1•х2= с

Корни с помощью данной теоремы находятся устно способом подбора. Рассмотрим это на примерах.

Пример №4. Решить уравнение х2–10х+21=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=–10, c=21. Применим теорему Виета:

х12=–(–10)=10

х1х2=21

Начинаем с произведения корней, которое является положительным числом, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Предполагаем, что это могут быть либо 3 и 7, либо противоположные им числа. Теперь смотрим на сумму, она является положительным числом, поэтому нам подходит пара чисел 3 и 7. Проверяем: 3+7=10, 37=21. Значит, корнями данного уравнения являются числа 3 и 7.

Пример №5. Решить уравнение: х2+5х+4=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=5, c=4. По теореме Виета:

х12=–5

х1х2=4

Видим, что произведение корней равно 4, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Видим, что сумма отрицательная, значит, будем брать два отрицательных числа, нам подходят –1 и –4. Проверим:

–1+(–4)=–5

(–1)(–4)=4

Ответ: –1 и –4

Алла Василевская | 📄 Скачать PDF |

Добавить комментарий



Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *