👀 217 |

Биквадратные уравнения

теория по математике 📈 уравнения

Решение биквадратных уравнений

Уравнение вида ax4+bx2+c=0, где а≠0 число, называется биквадратным уравнением (приставка «би» означает «двойной»). Для решения такого уравнения применяют метод введения новой переменной, чтобы получить квадратное уравнение, решение которого легко выполняется.

Рассмотрим на примерах решение таких уравнений.

Пример №1. Решить уравнение:

х4–25х2+144=0

В данном уравнении заменим х2 на переменную, например а (букву для замены можно брать любую): х2=а. Степень данного уравнения при этом понизится на 2, получаем квадратное уравнение:

а2–25а+144=0

Решаем данное уравнение, например, по теореме Виета. Тогда:

а12=25, а1а2=144

Методом подбора получаем корни квадратного уравнения 9 и 16. Проверяем, что действительно 9+16=25, 916=144. Теперь переходим к нахождению корней биквадратного уравнения, которое дано по условию. Мы заменяли х2 на а, поэтому подставляем вместо а полученные значения – это 9 и 16:

х2=9; х2=16

Теперь находим корни каждого из этих неполных квадратных уравнений: х2=9, отсюда уравнение имеет два корня ±3; х2=16, отсюда имеет еще два корня ±4. Следовательно, данное биквадратное уравнение имеет четыре корня: 3, -3, 4, -4.

Пример №2. Решить уравнение:

х4–3х2–4=0

Заменим на переменную у: х2=у. Получим уравнение:

у2–3у–4 =0

Найдем его корни: у1=–1, у2=4. Подставим корни вместо у и получим уравнения: х2=–1; х2=4. Видим, что первое неполное квадратное уравнение не имеет корней, а корни второго уравнения – это ±2. Значит, данное биквадратное уравнение имеет корни ±2.

Пример №3. Решить уравнение:

х4–8х2+20=0

Выполним замену переменной: х2=у. Решим уравнение:

у2–8у+20=0

Подбором корни найти невозможно, поэтому через дискриминант получаем, что корней нет, так как дискриминант будет отрицательный. Значит и данное биквадратное уравнение тоже не имеет корней.


Алла Василевская | 📄 Скачать PDF |

Добавить комментарий



Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *