Действия со степенями | теория по математике 🎲 числа и вычисления

Что такое степень?

Степенью числа a с натуральным показателем n называют произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен а. То есть аn=a×a×a×a …..a (а берется n раз). Число а называют основанием, а число n показателем степени. Показатель показывает, сколько раз берется основание как множитель.

Пример №1.
  • 34=3×3×3×3 число 3 берем 4 раза (показатель 4)
  • 213=21×21×21 число 21 берем 3 раза (показатель 3)

Свойства степени (применимы для степеней с одинаковым основанием)

Умножение степеней

При умножении степеней с одинаковым основанием основание оставляют тем же, а показатели складывают:

an× am=an+m

Пример №2.

а2×а82+810

55×53×54=55+3+4=512

Деление степеней

При делении степеней с одинаковым основанием  основание оставляют тем же, а показатели вычитают:

an : am=anm

Пример №3.

с12512-5= с7

323:320=323-20= 33

Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели умножают:

(an)m=an×m

Пример №4.

10)220

(63)5=615

Степень произведения

При возведении в степень произведения разных множителей необходимо возвести в эту степень каждый множитель:

(a×b×c)m=am×bm×cm

Пример №5.

(сmn)5=c5m5n5

(3254)6=312524

Степень дроби  (степень частного)

При возведении в степень обыкновенной дроби необходимо возвести в данную степень числитель и знаменатель дроби:

Важные правила для работы со степенями

Запомните!
  1. Любое число в нулевой степени равно 1 (а0=1).
  2. Нуль в любой степени равен нулю (0n=0).
  3. Свойства степени с натуральным показателем применимы для степени с целым отрицательным показателем.
Пример №6.

с-21 × с-2-21+(-2)-23

х12 : х-2= х12-(-2)14

-3)5-15

Правила для степени с целым отрицательным показателем
  1. Степень с целым отрицательным показателем можно представить в виде обыкновенной дроби, числитель которой равен единице, а знаменатель степени с натуральным показателем.
  2. Если дана дробь, в знаменателе которой есть степень с целым отрицательным показателем, то ее можно представить в виде степени с натуральным показателем.
  3. Если дана дробь, в числителе и знаменателе которой есть степень с целым отрицательным показателем, то можно заменить её дробью, содержащей степень с натуральным показателем, просто поменяв числитель и знаменатель местами.
Текст: Алла Василевская, 12.1k 👀

Задание OM2004

Сократите дробь 36n4n232n1 .

Чтобы решить данное задание, необходимо понимать, что выполнять действия умножение и деление степеней мы можем в том случае, если они имеют одинаковые основания. Поэтому разложим на множители основание 36 нашего числителя так, чтобы вместо 36 были числа 4 и 3, которые есть в знаменателе.

(334)n4n232n1 ..

Теперь представим каждый множитель в виде степени:

3n3n4n4n232n1 ..

Разложим знаменатель дроби на множители по свойству степеней

3n3n4n4n4232n31 ..

Теперь можно сократить числитель и знаменатель на 3n и в 4n степени

Получим дробь, которую преобразуем по свойству степеней:

..14231 ..= 42311..=163=48

Ответ: 48

pазбирался: Базанов Даниил | обсудить разбор

Задание 8OM21R

Найти значение выражения

(38)73785..

 

В числителе дроби возведем в степень каждый множитель:

(38)737 85..=37873785.

Теперь сократим (выполним деление степеней), сократятся 37 полностью, а при сокращении на 85 по свойству степеней останется 82, возведем 8 во вторую степень, получим 64, т.е.

 (38)737 85..=37873785..=82=64

Ответ: 64

pазбирался: Базанов Даниил | обсудить разбор

Задание OM1302o

Найдите значение выражения:

Решение 7 задания ОГЭ по математике

при a = 13, b = 6,8


В данном случае, в отличие от первого, мы будем упрощать выражение вынося за скобки, а не раскрывая их.

Сразу можно заметить, что b присутствует у первой дроби в числителе, а у второй — в знаменателе, поэтому можем их сократить. Семь и четырнадцать тоже сокращаются на семь:

Решение 7 задания ОГЭ по математике

Далее выносим из числителя второй дроби a:

Решение 7 задания ОГЭ по математике

 Сокращаем (a-b):

Решение 7 задания ОГЭ по математике

 И получаем:

a/2

Подставляем значение a = 13:

13 / 2 = 6,5

Ответ: 6,5

pазбирался: Базанов Даниил | обсудить разбор

Задание OM1301o

Найдите значение выражения: (x + 5)2 - x (x- 10) при x = - 1/20


В данном случае необходимо сначала упростить выражение, для этого раскроем скобки:

(x + 5)2 — x (x — 10) = x2 + 2 • 5 • x + 25 — x+ 10x

Затем приведем подобные слагаемые:

x2 + 2 • 5 • x + 25 — x2 + 10x = 20 x + 25

Далее подставим x из условия:

20 x + 25 = 20 • (-1/20) + 25 = — 1 + 25 = 24

Ответ: 24

pазбирался: Базанов Даниил | обсудить разбор

Задание OM0807o

Найдите значение выражения:


Используем правило умножения и деления степеней с одинаковым основанием. Заключается оно в том, что при их умножении показатели степеней суммируются, а при делении вычитаются (от показателя в числителе вычитается показатель, стоящий в знаменателе). Тогда получаем: Ответ: 81

pазбирался: Базанов Даниил | обсудить разбор

Задание OM0806o

Найдите значение выражения:


В 1-м корне представляем 4900 в виде произведения 49·100. Оба эти числа являются точными квадратами: 49=72 и 100=102. И, значит, число под корнем можно полностью вынести из-под него, применив правила работы с подкоренными выражениями. В целом получаем:   По аналогии извлекаем и 2-й корень: В итоге получаем: Ответ: 70,7

pазбирался: Базанов Даниил | обсудить разбор

Задание OM0805o

Значение какого из выражений является рациональным числом?

  1. √6-3
  2. √3•√5
  3. (√5)²
  4. (√6-3)²

В данном задании у нас проверяют навыки операций с иррациональными числами.

Разберем каждый вариант ответа в решении:

1) √6-3

√6 само по себе является иррациональным числом, для решения подобных задач достаточно помнить, что рационально извлечь корень можно из квадратов натуральных чисел, например, 4, 9, 16, 25…

При вычитании из иррационального числа любого другого, кроме его же самого, приведет вновь к иррациональному числу, таким образом, в этом варианте получается иррациональное число.

2) √3•√5

При умножении корней, мы можем извлечь корень из произведения подкоренных выражений, то есть:

√3•√5 = √(3•5) = √15

Но √15 является иррациональным, поэтому данный вариант ответа не подходит.

3) (√5)²

При возведении квадратного корня в квадрат, мы получаем просто подкоренное выражение (если уж быть точнее, то подкоренное выражение по модулю, но в случае числа, как в данном варианте, это не имеет значения), поэтому:

(√5)² = 5

Данный вариант ответа нам подходит.

4) (√6-3)²

Данное выражение представляет продолжение 1 пункта, но если √6-3 иррациональное число, то никакими известными нам операциями перевести в рациональное его нельзя.

Ответ: 3

pазбирался: Базанов Даниил | обсудить разбор

Задание OM0804o

Какое из данных ниже чисел является значением выражения?

Разбор и решение задания №3 ОГЭ по математике

Разбор и решение задания №3 ОГЭ по математике


Заметим, что в знаменателе присутствует разность (4 — √14), от которой нам необходимо избавиться. Как же это сделать?

Для этого вспоминаем формулу сокращенного умножения, а именно разность квадратов! Чтобы правильно её применить в этом задании необходимо помнить правила обращения с дробями. В данном случае вспоминаем, что дробь не изменяется, если числитель и знаменатель домножить на одно и то же число или выражение. Для разности квадратов нам не хватает выражения (4 + √14), значит, домножим на него числитель и знаменатель.

После этого в числителе получим 4 + √14, а в знаменателе разность квадратов: 4² — (√14)². После этого знаменатель легко вычисляется:

16 — 14 = 2

Суммарно наши действия выглядят так:

Разбор и решение задания №3 ОГЭ по математике

Ответ: 4

pазбирался: Базанов Даниил | обсудить разбор

Задание OM0801o

Какое из данных ниже выражений при любых значениях n равно произведению 121 • 11?

  1. 121n
  2. 11n+2
  3. 112n
  4. 11n+3

Для решения данной задачи необходимо вспомнить следующие правила обращения со степенями:

  • при умножении степени складываются
  • приделении степени вычитаются
  • при возведении степени в степень степени перемножаются
  • при извлечении корня степени делятся

Кроме того, для решения необходимо представить 121 как степень 11, а именно это 112.

121 • 11= 112 • 11n

С учетом правила умножения, складываем степени:

  112 • 11= 11n+2

Следовательно, нам подходит второй ответ.

Ответ: 2

pазбирался: Базанов Даниил | обсудить разбор

Задание OM0606o

Найдите значение выражения:

–0,3·(–10)4+4·(–10)2–59


Для получения результата необходимо последовательно выполнить математические действия в соответствии с их приоритетом.

–0,3·(–10)4+4·(–10)2–59 =

Выполняем возведение в степень. Получаем числа, состоящие из единицы и следующего за ней количества нулей, равного показателю степени. При этом знаки «–» в скобках исчезают, поскольку показатели степеней четные. Получаем:

= –0,3·10000+4·100–59 =

Выполняем умножение. Для этого в числе 0,3 переносим десятичную запятую на 4 знака вправо (так как в 10000 четыре нуля), а к 4 дописываем, соответственно, 2 нуля. Получаем:

= –3000+400–59 =

Выполняем сложение –3000+400. Поскольку это числа с разными знаками, то вычитаем из большего модуля меньший и перед результатом ставим «–», поскольку число с большим модулем отрицательное. Получаем:

= –2600–59 =

Так как оба числа отрицательные, то складываем их модули и перед результатом ставим «–». Получаем:

= –(2600+59) = –2659

Ответ: -2659

pазбирался: Базанов Даниил | обсудить разбор

Вся теория

Натуральные числаОтношение чиселОбратные числаОбыкновенные дробиДесятичные дробиПеревод обыкновенной дроби в десятичную и наоборотБесконечные дроби и иррациональные числаОкругление чиселДействия с рациональными числамиЧисловые и буквенные выражения. Порядок действий.Одночлен и его стандартный видМногочлены. Действия с многочленами.Формулы сокращенного умножения. Разложение на множители.Алгебраические дробиЛинейное уравнениеНеполные квадратные уравненияКвадратное уравнение. Дискриминант. Теорема Виета.Биквадратные уравненияЧисловые неравенства и их свойстваЛинейные неравенства с одной переменнойКвадратные неравенства с одной переменнойМетод интерваловЧисловая последовательностьАрифметическая прогрессия и сумма ее членовГеометрическая прогрессия и сумма ее членовФункция. Зависимые и независимые переменные. Область определения и область значений функции.Свойства функции. Возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, нули, промежутки знакопостоянства.Линейная функция, ее свойства и графикПарабола, график, вершина, нули.Гипербола. График функции и свойства.Угол. Биссектриса. Виды углов.Прямая. Параллельные и перпендикулярные прямые.Плоскость. Прямая. Луч. Отрезок. Серединный перпендикуляр.Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия.Равнобедренный и равносторонний треугольникиПрямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.Признаки равенства треугольниковНеравенство треугольникаОкружность и кругВписанные и центральные углы, их свойстваОписанная и вписанная окружностьЧетырехугольникиУмножение и его свойстваШкала. Координатный луч.Многоугольники. Равные фигуры.Прямоугольный параллелепипед и его объем. Пирамида.ВПР по Математике 8 классВПР по математике 7 классВПР по математике 6 классВПР по математике 5 класс