Действия с рациональными числами

теория по математике 📈 числа и вычисления

Что такое рациональные числа?

Рациональные числа – это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби, где a – целое число, а b – натуральное.

То есть все дробные и целые числа вместе образуют рациональные числа, так как любое целое можно представить в виде обыкновенной дроби, записав его в числитель, а в знаменателе надо написать 1.

Пример №1. Любые целые числа, например, 38, -24, 49 можно представить в виде обыкновенных дробей, их называют рациональными:

Действия с рациональными числами

Сложение (или вычитание) рационального числа и ноля

Для любого рационального числа применимо правило сложения (или вычитания): а + 0 = 0, a — 0 = a

Пример №2. –25,7 + 0 = –25,7 или 0+(–67)= –67

Аналогичное правило работает и для вычитания нуля.

Пример №3. 45 – 0=45 или – 67 – 0 = – 67

Как складывать отрицательные числа?

Чтобы сложить два отрицательных рациональных числа, складывают модули и перед полученным результатом ставят знак минус.

Модуль неотрицательного числа равен этому числу, модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному.

Пример №4. Складываем модули чисел –31 и –45, то есть модули чисел равны соответственно |–31|=31 и |–45|=45, значит, 31+45 = 76. Далее ставим минус в ответе. Запись самого решения выполняется без знака «модуля» следующим образом:

 – 31+(–45)= –(31+45)= –76

Как складывать числа с разными знаками?

При сложении чисел с разными знаками необходимо из числа, которое больше по модулю, вычесть число, которое меньше по модулю, а перед полученным результатом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.

Пример 5.

  • 45+(–98) = – (98–45)= –53 здесь большее по модулю число – это 98, поэтому из него будем вычитать число 45 и ставить в ответе знак «минус».
  • –43+81=81–43=38 здесь большее по модулю число это 81, поэтому из него вычитаем 43, соответственно результат будет положительный.
Правило вычитания рациональных чисел

Чтобы вычесть из одно числа другое, необходимо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Пример №6.

  • 10–18=10+(–18)= –8 здесь к уменьшаемому 10 прибавляем число противоположное 18, то есть прибавляем –18. Дальше работаем по известному правилу сложения чисел с разными знаками.
  • –7–(–2)= –7+2= –5 здесь к уменьшаемому –7 прибавляем число противоположное –2, то есть 2. Далее опять работает правило сложения чисел с разными знаками.
  • 15–(–12)=15+12=27 здесь к уменьшаемому 15 прибавляем число противоположное –12, то есть 12. Далее – получаем сложение положительных чисел.
Как умножать рациональные числа с разными знаками?

Правило умножения двух рациональных чисел, содержащих разные знаки, гласит: выполняем умножение модулей этих чисел и перед полученным результатом ставим знак минус. Другими словами, при умножении двух чисел с разными знаками всегда ставится минус  в ответе.

Пример №7.

  • –6 80= –480
  • 48 (–3)= –144
Как умножать отрицательные числа?Правило умножения двух отрицательных чисел: умножаем их модули; в ответ записываем полученное положительное число. Другими словами, при умножении двух отрицательных чисел всегда получается положительное число.

Пример №8.

  • –25 (–4)=100
  • –21,7 (–10)=217
Как делить рациональные числа?

Правило деления двух рациональных чисел аналогично правилу умножения: при делении двух чисел с разными знаками в ответе получается отрицательное число. При делении двух отрицательных чисел получается положительное число.

Пример №9.

  • –215:5= –43
  • –642:(–2)= 321
Умножение и деление рационального числа и нуля
  1. При умножении рационального числа и нуля получается нуль.
  2. При делении нуля на рациональное число получается нуль.
  3. При делении рациональных чисел нужно помнить  правило о том, что на нуль делить нельзя!

Пример №10.

  • –314×0=0
  • 0×(–2,16)=0
  • 0 : (–31)=0
Задание OM0606o Найдите значение выражения:

–0,3·(–10)4+4·(–10)2–59

Для получения результата необходимо последовательно выполнить математические действия в соответствии с их приоритетом.

–0,3·(–10)4+4·(–10)2–59 =

Выполняем возведение в степень. Получаем числа, состоящие из единицы и следующего за ней количества нулей, равного показателю степени. При этом знаки «–» в скобках исчезают, поскольку показатели степеней четные. Получаем:

= –0,3·10000+4·100–59 =

Выполняем умножение. Для этого в числе 0,3 переносим десятичную запятую на 4 знака вправо (так как в 10000 четыре нуля), а к 4 дописываем, соответственно, 2 нуля. Получаем:

= –3000+400–59 =

Выполняем сложение –3000+400. Поскольку это числа с разными знаками, то вычитаем из большего модуля меньший и перед результатом ставим «–», поскольку число с большим модулем отрицательное. Получаем:

= –2600–59 =

Так как оба числа отрицательные, то складываем их модули и перед результатом ставим «–». Получаем:

= –(2600+59) = –2659

Ответ: -2659

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM0605o Найдите значение выражения:

–13•(–9,3)–7,8

Это задание требует простого умения выполнять арифметические действия с десятичными дробями.

–13·(–9,3)–7,8 =

Сначала выполняем умножение. Умножаем –13 и –9,3 в столбик без учета знаков «–» перед сомножителями. В полученном произведении отделяем одну – последнюю – цифру десятичной запятой:

Знак произведения будет положительным, поскольку умножаются два отрицательных числа. Получаем:

= 120,9–7,8 =

Эту разность можно вычислить в столбик, но можно и устно. Выполним это действие в уме: вычитаем отдельно целые части и десятичные. Получаем:

= 113,1

Ответ: 113,1

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM0604o Найдите значение выражения:  ¼ + 0,07

К данному заданию, как и к большинству заданий 1 модуля Алгебры, подход к решению заключается в переводе дроби от одного вида к другому. В нашем случае это переход от обыкновенной дроби к десятичной.

Переводим ¼ из обыкновенной дроби в десятичную. Делим 1 на 4, получаем 0,25. Затем переписываем выражение с использованием только десятичных дробей и вычисляем:

0,25 + 0,07 = 0,32

Ответ: 0,32

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM0602o Найдите значение выражения:1-2

Можно решать задачу напрямую — вычисляя значения последовательно, это не должно составить труда, однако решение будет долгим и с большими вычислениями. Здесь можно заметить, что   1/3 присутствует как в уменьшаемом — 6 • (1/3)², так и в вычитаемом — 17  • 1/3, поэтому её можно легко вынести за скобку.

1/3 • (6 • (1/3)  — 17 )

Проведя вычисления в скобках, получим:

1/3 • ( 6 • (1/3)  — 17 ) = 1/3 • (6 /3  — 17 ) = 1/3 • ( 2  — 17 ) = 1/3 • ( -15 )

Теперь умножим полученное значение -15 на 1/3:

1/3 • ( -15 ) = -5

Ответ: -5

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM0601o Найдите значение выражения:1-1

Задачу можно решать разными путями, а именно менять последовательность действий, но этот вариант решения рекомендуется для тех, кто уверен в своих возможностях и знает математику на отлично. Для остальных мы рекомендуем выполнить последовательно действия в числителе и знаменателе, а затем разделить числитель на знаменатель. Числитель вычислять в данном примере нет необходимости, это число 9.

Вычислим значение знаменателя:

4,5 • 2,5

Можно произвести вычисления в столбик, тогда получим:

4,5 • 2,5 = 11,25

Либо перевести дробь к простому виду:

4,5 • 2,5 = 4½ • 2 ½ = 9 / 2 • 5 / 2 = 45 / 4

Последний случай предпочтительней, так как для дальнейшей операции — деления числителя на знаменатель задача упрощается. Делим числитель на знаменатель, умножая числитель на перевернутую дробь в знаменателе:

9 / ( 45 / 4 ) = ( 9 / 1 ) • ( 4 / 45 ) = ( 9 • 4 ) / (1 • 45 )

9 и 45 можно сократить на 9:

( 9 • 4 ) / (1 • 45 ) = ( 1 • 4 )/ (1 • 5 ) = 4 / 5 = 8 / 10 = 0,8

Ответ: 0,8

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить


Даниил Романович | 📄 Скачать PDF | Просмотров: 1.6k | Оценить:

Добавить комментарий



Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *