Числовые и буквенные выражения. Порядок действий. | теория по математике 🎲 алгебраические выражения

Что такое числовое выражение?

Числовое выражение – это выражение, состоящее из чисел и знаков действий, а также скобок.

Пример №1. В каждом из этих выражений содержатся числа, между которыми есть знаки действий, а также бывают скобки. Это и есть числовые выражения.

  • 256 : 2 + 315×5
  • (181 – 19)×6 – 121:11
  • 13,5 + 16 – 11
  • 122 — 14×8,5

Если выполнить по порядку все действия, которые есть в числовом выражении, то получится определенное число, которое называют значением числового выражения. Порядок действий в числовых выражениях определяется правилами.

Важно!

Действия сложение и вычитание принято называть действиями первой ступени, а умножение и деление – действиями второй ступени. Возведение в степень – это действие третьей ступени.

Порядок действий в выражении, не содержащем скобки

Порядок действий без скобок
  1. При наличии действий одной ступени их выполняют по порядку слева направо.
  2. При наличии действий разных ступеней — выполнение начинается с высшей ступени (то есть с третьей).

Пример №2.

890 – 567 + 2340 – 124

в данном выражении действия одной ступени (сложение и вычитание), поэтому выполняем их по порядку слева направо:

  1. 890 – 567 = 323
  2. 323 + 2340=2663
  3. 2663 – 124=2539

Пример №3.

1260:20×3,7:10

в этом выражении также действия одной ступени (умножение и деление), поэтому выполняем их по порядку слева направо:

  1. 1260:20=63
  2. 63 3,7=233,1
  3. 233,1:10=23,31

Пример №4.

560:2 + 162 – 3×76,2

здесь присутствуют действия всех ступеней. Поэтому начинаем выполнять их с наивысшей ступени – возведения в степень. Затем слева направо выполняем деление и умножение, а затем слева направо – сложение и вычитание:

  1. 162=256
  2. 560:2=280
  3. 3 76,2=228,6
  4. 280+256=536
  5. 536 – 228,6=307,4

Порядок действий в выражении, содержащем скобки

Порядок действий со скобками

Если числовое выражение содержит скобки, то выполняют сначала действия в скобках, следуя правилу, а затем – действия за скобками.

Пример №5.

(3245 + 67,92:2)×3 + (126×2 – 321:3) – 125

здесь числовое выражение содержит скобки, поэтому действия выполняем в скобках слева (деление, затем сложение), затем в скобках справа (умножение, деление, вычитание):

  1. 67,92:2=33,96
  2. 3245+33,96=3278,96
  3. 126×2=252
  4. 321:3=107
  5. 252-107=145

Теперь выполняем действия за скобками слева направо (умножение, сложение, вычитание):

  1. 3278,96×3=9836,88
  2. 9836,88+145=9981,88
  3. 9981,88 – 125=9856,88

Буквенные выражения. Числовое значение буквенного выражения.

Какие выражения называют буквенными?

Выражения, содержащие не только числа и знаки действий, но и буквы, называют буквенными. Буквы также можно называть «переменная». Обращаем внимание на то, что знак «умножить» между числом и буквой не пишется.

Пример №6. Примеры буквенных выражений:

  • 5х + 6у
  • 18 + a + b
  • 12с – 11
  • m + n
  • (x + n) – 11m
Числовое значение буквенного выражения

Числовое значение буквенного выражения – это значение числового выражения, полученного при подстановке конкретных значений переменной в данное выражение.

Пример №7. Найдем значение выражения с + х при с=23, х=0,17. Для этого подставим вместо с и х их данные числовые значения и получим числовое выражение 23 + 0,17. Теперь вычислим результат и получим 23,17. Таким образом, числовое значение буквенного выражения с + х равно 23,17.

Пример №8. Найдем значение выражения 11х +(с — d) при х=10, c=178, d=121. Для этого подставляем вместо каждой переменной соответствующие числовые значения и получим числовое выражение 11×10 + (178 – 121). Выполнив действия, получим ответ 167. Это и есть числовое значение буквенного выражения.

Заметим, что и числовые и буквенные выражения можно называть еще как алгебраические выражения.

Текст: Алла Василевская, 9k 👀

Задание OM2001

Найти значение выражения 41a – 11b + 15, если 4a−9b+39a−4b+3..=5

Для начала преобразуем нашу дробь, которая дана по условию. Применим правило пропорции, умножив на 5 знаменатель данной дроби:

4a−9b+39a−4b+3..=5

             5(9а – 4b + 3)=4a – 9b+3

Раскроем скобки и перенесем слагаемые с буквами а и b влево, а свободные члены вправо (не забывая изменять при переносе знаки на противоположные):

45a – 20b +15 =4a – 9b+3

45a – 20b – 4a + 9b=3 – 15

Приведем подобные слагаемые:

41a – 11b = — 12

Выпишем выражение, значение которого надо найти: 41a – 11b + 15 и заменим в нем 41a – 11b на число -12, полученное при упрощении нашей дроби:

41a – 11b + 15= — 12 + 15=3. Видим, что значение нашего выражения получилось равным 3.

Ответ: 3

pазбирался: Базанов Даниил | обсудить разбор

Задание OM1301o

Найдите значение выражения: (x + 5)2 - x (x- 10) при x = - 1/20

В данном случае необходимо сначала упростить выражение, для этого раскроем скобки:

(x + 5)2 — x (x — 10) = x2 + 2 • 5 • x + 25 — x2 + 10x

Затем приведем подобные слагаемые:

x2 + 2 • 5 • x + 25 — x2 + 10x = 20 x + 25

Далее подставим x из условия:

20 x + 25 = 20 • (-1/20) + 25 = — 1 + 25 = 24

Ответ: 24

pазбирался: Базанов Даниил | обсудить разбор

Задание OM0703o

На координатной прямо отмечены числа a и b:

2-3

Какое из приведенных утверждений для этих чисел неверно:

  1. ab²<0
  2. a — b > 0
  3. a + b < 0
  4. ab < 0

Для удобства решения необходимо оценить данные нам числа. Из координатной прямой видно, что a > 0, так как расположено справа от ноля, а b < 0, так как расположено слева. К тому же, b значительно более удалено от ноля, а значит больше по модулю.

Для удобства, исходя из вышеизложенных рассуждений, примем a = 1, а b = -2.

Теперь подставим значения в данные неравенства:

  •  ab²<0

1 • (-2)² = 4 > 0

Значит, утверждение неверно.

  • a — b > 0

1 — (-2) = 3  > 0

Утверждение верно.

  • a + b < 0

1 + (-2) = -1 < 0

Утверждение верно.

  • ab < 0

1 • (-2) = -2 < 0

Утверждение верно.

Следовательно, правильный ответ первый.

Ответ: ab²<0

pазбирался: Базанов Даниил | обсудить разбор

Вся теория

Натуральные числа • Отношение чисел • Обратные числа • Обыкновенные дроби • Десятичные дроби • Перевод обыкновенной дроби в десятичную и наоборот • Бесконечные дроби и иррациональные числа • Округление чисел • Действия с рациональными числами • Действия со степенями • Одночлен и его стандартный вид • Многочлены. Действия с многочленами. • Формулы сокращенного умножения. Разложение на множители. • Алгебраические дроби • Линейное уравнение • Неполные квадратные уравнения • Квадратное уравнение. Дискриминант. Теорема Виета. • Биквадратные уравнения • Числовые неравенства и их свойства • Линейные неравенства с одной переменной • Квадратные неравенства с одной переменной • Метод интервалов • Числовая последовательность • Арифметическая прогрессия и сумма ее членов • Геометрическая прогрессия и сумма ее членов • Функция. Зависимые и независимые переменные. Область определения и область значений функции. • Свойства функции. Возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, нули, промежутки знакопостоянства. • Линейная функция, ее свойства и график • Парабола, график, вершина, нули. • Гипербола. График функции и свойства. • Угол. Биссектриса. Виды углов. • Прямая. Параллельные и перпендикулярные прямые. • Плоскость. Прямая. Луч. Отрезок. Серединный перпендикуляр. • Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия. • Равнобедренный и равносторонний треугольники • Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора. • Признаки равенства треугольников • Неравенство треугольника • Окружность и круг • Вписанные и центральные углы, их свойства • Описанная и вписанная окружность • Четырехугольники • Умножение и его свойства • Шкала. Координатный луч. • Многоугольники. Равные фигуры. • Прямоугольный параллелепипед и его объем. Пирамида. • ВПР по Математике 8 класс • ВПР по математике 7 класс • ВПР по математике 6 класс • ВПР по математике 5 класс •