Арифметическая прогрессия и сумма ее членов

теория по математике 📈 последовательности

Определение

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Другими словами, последовательность (аn) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального числа n выполняется условие аn+1n+d, где d – некоторое число. Из данного равенства следует, что можно найти это число d, если вычесть из последующего члена предыдущий, то есть d = аn+1–аn. Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессией, например, является ряд чисел 3; 8; 13; 18….., так как разница между числами равна 5, мы видим, что каждое последующее на 5 больше предыдущего.

Если известен первый член арифметической прогрессии a1 и разность d, то можно вычислить любой член арифметической прогрессии:

a2 = a1 + d;

a3 = a2 + d = a1+2d;

a4 = a3 + d = a1+3d.

Этот ряд можно продолжать до бесконечности, поэтому надо запомнить, что n-ый член арифметической прогрессии можем получить быстрее, если к первому члену прогрессии добавить (n−1) разностей, то есть:

Формула n-ого члена арифметической прогрессии

an = a1 + d(n−1)

где n – порядковый номер члена арифметической прогрессии, a1 – первый член прогрессии, d – разность арифметической прогрессии

Формулу используют, чтобы вычислить заданный член арифметической прогрессии (например, пятнадцатый, двухсотый и т.д.), если известны первый член последовательности и ее разность. Рассмотрим на примерах применение данной формулы.

Пример №1. Найти а20 арифметической прогрессии (аn), если а1=14, d=5. Составляем формулу для а20 и подставляем в нее данные: а20= a1 + d(20−1)=14+5(20−1)=109. Таким образом, мы вычислили, что на 20-ом месте в данной арифметической прогрессии стоит число 109.

Найти а7 арифметической прогрессии (аn), если а1=−8, d=−3. Аналогично работаем, составляя формулу и подставляя в нее данные значения (обращаем внимание на знаки чисел, чтобы не допустить ошибок): а7= a1 + d(7−1)= −8−3(7−1)= −26.

Дана арифметическая прогрессия 10; 12; 14;…… Найти а12. Здесь для нахождения а12 надо сначала найти разность d: d=12−10=2, то есть из последующего вычтем предыдущее. Можно было 14−12, порядок здесь не имеет значения, главное берем два соседних члена прогрессии. Теперь можем составлять формулу и находить а12: а12= a1 + d(12−1)=10+2(12−1)=32.

Утверждение

Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида an=kn+b, где k и b некоторые числа. Верно и обратное утверждение: если последовательность чисел задана формулой вида an=kn+b, где k и b некоторые числа, то она является арифметической.

Так, например, формула an=5n+1 задает арифметическую прогрессию, в которой разность d равна 1; по данной формуле можно найти любой член последовательности, например, найдем 20-ый член, подставляя в формулу число 20: a20=5×20+1=101.

Свойство арифметической прогрессии

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Формула:

аn=(аn-1+ аn+1):2

Другими словами, используя данное свойство, мы можем найти член арифметической прогрессии, стоящий между двумя известными членами, без использования разности d. Рассмотрим это на примерах.

Пример №2. Найти а10 арифметической прогрессии (аn), если а9=24; а11=38. Здесь используем свойство, так как видим, что у а10 известны соседние члены. Значит, а10=(а911):2=(24+38):2=31. Таким образом, десятый член равен 31.

Дана арифметическая прогрессия …..23; х; 35. Найти х. Применяем свойство для нахождения х: х=(23+35):2=29. Для наглядности запишем, что ряд чисел выглядит так: …23; 29; 35.

Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии

Для нахождения суммы (обозначим ее буквой S) большого количества членов арифметической прогрессии существует формула, позволяющая это сделать быстро.
Формула суммы членов арифметической прогрессии с известными членами

Sn= (a1+an )n2.

В данной формуле мы видим, что для нахождения суммы нужны первый и последний член прогрессии. Но встречаются случаи, когда аn не известно, но известна разность. Тогда для нахождения суммы применяют вторую формулу.

Формула суммы членов арифметической прогрессии с первым членом и разностью

Sn=2a1+d(n1)2..n

Рассмотрим на примерах применение данных формул.

Пример №3. Найти сумму первых пятидесяти членов арифметической прогрессии (аn), если а1=11, а50=39.

Для решения лучше использовать первую формулу, так как здесь есть первый и последний члены: а1=11, а50=39. Поэтому составляем формулу, подставляем в нее данные значения и вычисляем:

S50=(a1+a50 )502..=(11+39)502..=25002..=1250

Найти сумму первых десяти членов арифметической последовательности 3; 18; …. В данном случае задание можно выполнить двумя способами, как по первой формуле, так и по второй, а затем выяснить, какой способ короче, а значит, рациональнее.

Способ №1 (по первой формуле): надо найти разность d, затем десятый член прогрессии, а затем сумму:

d=18-3=15; а10=3+15(10-1)=138

S10=(a1+a10 )102..=(3+138)102..=705

Способ №2 (по второй формуле): надо знать разность d, d=18-3=15. Теперь подставим значения во вторую формулу и сосчитаем результат:

S10=2a1+d(101)2..10=2×3+15(101)2..10=705

Результаты в обоих случаях получились у нас одинаковые. А если сравнить два способа, то видно, что второй способ быстрее, тем более что в большинстве случаев разность арифметической прогрессии можно вычислить устно.

Таким образом, выбор формулы для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии зависит от заданного условия.

Задание 14OM21R При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 80С. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 6 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -60С.

Можно решить данную задачу логическим путем, т.е. без формулы. Так как начальная температура была -6, а потом уменьшалась на 8 градусов в течение 6 минут, то можно сделать следующее:

-6-8=-14 через 1 минуту

-14-8=-22 через 2 минуты

-22-8=-30 через 3 минуты

-30-8=-38 через 4 минуты

-38-8=-46 через 5 минут

-46-8=-54 через 6 минут

Значит, наш ответ -540С

Вторым способом является решение по формуле n-ого члена арифметической прогрессии, которая есть также и в справочном материале, т.е. an=a1+d(n – 1). В данном случае a1=-6; d=-8, n=7 (так как ЧЕРЕЗ 6 минут). Подставим значения в формулу: a7=-61-8(7 – 1). Вычислим: a6=-6-85=-6-48=-54.

Ответ: -54

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1407 К концу 2008 года в городе проживало 38100 человек. Каждый год число жителей города возрастало на одну и ту же величину. В конце 2016 года в городе проживало 43620 человек. Какова была численность населения этого города к концу 2012 года?

Содержание данной задачи говорит нам о том, что здесь есть арифметическая прогрессия, так как число жителей города возрастало на одну и ту же величину.

Рассмотрим данные:

2008 г – 38100 человек

2012 г — ? человек

2016 г. – 43620 человек

Удобно решить данную задачу способом по формуле связи между любыми двумя членами арифметической прогрессии: d=anakkn.. , где k>n. Число d (разность прогрессии) будет являться ежегодным приростом населения.

Итак, можно вычислить прирост населения с 2008 по 2016 ежегодно:

(43620 – 38100):(2016 – 2008)= 5520:8=690 человек.

Теперь можно найти, сколько человек проживало в конце 2012 года.

38100+690(2016 – 2012)= 40860 человек

Ответ: 40860

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1406 Митя играет в компьютерную игру. Он начинает с 0 очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 30000 очков. После первой минуты игры добавляется 2 очка, после второй – 4 очка, после третьей – 8 очков и так далее. Таким образом, после каждой следующей минуты игры количество добавляемых очков удваивается. Через сколько минут Митя перейдет на следующий уровень?

Анализируя содержание задачи, можно сказать, что мы имеем дело с геометрической прогрессией, так как после первой минуты игры добавляется 2 очка, после второй – 4 очка, после третьей – 8, а это значит, что с каждой последующей минутой количество очков удваивается. То есть знаменатель геометрической прогрессии q равен 2, b1=2 по условию (после 1 минуты 2 очка). Так как очки суммируются, то будем использовать формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии Sn=b1(qn1)q1.., где Sn>30000, так как для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 30000 очков.

Подставляем наши данные в формулу: 2(2n1)21..>30000

Упрощаем выражение: так как в знаменателе дроби получается 1, то получим 2(2n-1)>30000; делим обе части на 2: 2n-1>15000; переносим 1 в правую часть и получим: 2n>15001. Теперь надо подобрать число n, при котором будет верно наше неравенство. Делать это можно постепенно, возводя 2 в степени, а можно запомнить, что 210=1024. Тогда легко будет добраться до числа, которое меньше 15001, а это 214=16384, где 16384<15001. Следовательно, наш ответ 14 минут.

Ответ: 14

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1405 В течение 25 банковских дней акции компании дорожали ежедневно на одну и ту же сумму. Сколько стоила акция компании в последний день этого периода, если в 7-й день акция стоила 777 рублей, а в 12-й день – 852 рубля?

В содержании задачи есть фраза, что акции дорожали ежедневно на одну и ту же сумму, следовательно, имеем арифметическую прогрессию. Итак, определяем, что известно: в 7-й день акция стоила 777 рублей, это а7=777; в 12-й день – 852 рубля, это а12=852. Известно, что акции дорожали 25 дней, а найти надо стоимость акции в последний, т.е. в 25-ый день, значит, будем искать а25.

1 способ:

В данной арифметической прогрессии нет первого члена, не идет речь про сумму, поэтому воспользуемся формулой аn=ak+d(n – k), где n>k. Числа n и k – это порядковые номера. Составим формулу для наших данных и подставим в неё значения: а127+d(12-7); 852=777+d(12 – 7). Упростим выражение и найдем разность d, 852–777= d(12 – 7); 75= d∙5; отсюда d=75:5=15. Итак, мы нашли, что акции ежедневно дорожали на 15 рублей.

Теперь, зная число d, мы можем найти а25 через, например, а12, используя всё ту же формулу. Получаем: а2512+d(25-12); а25=852+15(25-12)=852+15∙13= 852+195=1047. Значит, 1047 рублей стоила акция в последний день.

2 способ:

Можно решить данную задачу другим способом по формуле связи между любыми двумя членами арифметической прогрессии: d=anakkn.. , где k>n. Составим формулу для наших а12 и а7, а затем подставим в нее данные: d=a12a7127..; d=852777127..=15. Теперь по этой же формуле найдем а25, связывая его с а12: d=a25a122512..; 15=a2585213..; найдем отсюда а25, а25=15∙13+852=1047.

Ответ: 1047

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1404 Грузовик перевозит партию щебня массой 176 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что в первый день было перевезено 6 тонн щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено в последний день, если вся работа была выполнена за 11 дней.

В условии задачи встречаются слова, что норма увеличивалась на одно и то же число. И это значит, что мы имеем арифметическую прогрессию, в которой а1=6, так как в первый день перевезли 6 тонн. Далее, известно, что вся работа была выполнена за 11 дней, значит число n=11. Так как масса всего щебня равна 176, то это число является суммой нашей прогрессии, т.е. S11=176. Требуется найти, сколько тонн было перевезено в последний день, а он – 11, значит, найти надо а11.

Итак, если нам встретилась сумма арифметической прогрессии, значит, нам надо воспользоваться формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии Sn=а1+аn2..n, куда мы и подставим все данные: 176=6+а112..11.

Разделим обе части на 11, получим 16= 6+а112.. ; умножим 16 на 2 (правило пропорции): 32=6+а11. Отсюда найдем а11=32–6=26. Итак, мы нашли, что 26 тонн щебня было перевезено в последний день.

Ответ: 26

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1403 Для получения витамина D могут быть рекомендованы солнечные ванны. Загорать лучше утром до 10 часов или вечером после 17 часов. Михаилу назначили курс солнечных ванн. Михаил начинает курс с 15 минут в первый день и увеличивает время этой процедуры в каждый следующий день на 15 минут. В какой по счету день продолжительность процедуры достигнет 1 часа 15 минут?

Из содержания данной задачи видно, что время процедуры увеличивалось с каждым днем на одно и то же количество времени – на 15 минут, следовательно, это арифметическая прогрессия. Так как в первый день курс был 15 минут, то а1=15; так как время ежедневно увеличивалось на 15 минут, то значит разность d=15; зная, что продолжительность процедуры должна достигнуть 1 ч 15 мин, т.е. достигнуть 75 минут (1 час=60 мин, плюс 15 минут), то это число 75 и будет являться n членом арифметической прогрессии. Требуется найти, в какой по счету день продолжительность процедуры достигнет этих 75 минут, т.е. найдем число n.

Теперь берем формулу n члена арифметической прогрессии аn=a1+d(n – 1) и подставляем в неё наши данные: 75=15+15(n – 1); упростим данное выражение: 75-15=15(n – 1); 60=15(n – 1); разделим на 15 обе части: 4=n – 1; найдем отсюда, что n=5. Таким образом, на пятый день продолжительность процедуры достигнет 75 минут.

Ответ: 5

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1402 Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние меньше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в сумме 7,5 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 60 метрам.

Анализируя содержание задачи, мы видим, что улитка проползала ежедневно на одно и то же расстояние меньше, чем в предыдущий день. А это значит, что имеем арифметическую прогрессию. По условию определяем данные: так как в первый и последний дни она проползла 7,5 м, то имеем, что а1n=7,5. Так как расстояние между деревьями равно 60 м, то имеем сумму n первых членов прогрессии, т.е. Sn=60. Так как найти надо количество дней, которое она потратила на весь путь, то искомым числом будет число n.

Зная формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии

Sn=а1+аn2..n, имеем 60=7,5  n2... Отсюда находим n, умножая сначала 60 на 2 (по определению пропорции), затем 120 делим на 7,5 и получаем, что n=16. Таким образом, улитка потратила на весь путь 16 дней.

Ответ: 16

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1401 При проведении химической реакции в растворе образуется нерастворимый осадок. Наблюдения показали, что каждую минуту образуется 0,2 г осадка. Найдите массу осадка (в граммах) в растворе спустя семь минут после начала реакции.

При анализе содержания задачи мы видим, что каждую минуту количество осадка увеличивается на одно и то же число, на 0,2 г. А это значит, что имеем арифметическую прогрессию, в которой первый член равен 0,2, так как по условию в первую минуту образовалось 0,2 г осадка. Разность арифметической прогрессии равна также 0,2, так как каждую минуту на это количество увеличивается количество осадков. Найти нужно седьмой член последовательности.

Итак, имеем а1=0,2; d=0,2. Ищем а7. По определению n-ого члена арифметической прогрессии имеем формулу аn=a1+d(n – 1). Подставим в нее наши данные: а7=a1+d(7 – 1)=0,2+0,2·6=1,4

Ответ: 1,4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить


Даниил Романович | Просмотров: 2.2k | Оценить:

Добавить комментарий



Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *