Задание OM1406

Анализируя содержание задачи, можно сказать, что мы имеем дело с геометрической прогрессией, так как после первой минуты игры добавляется 2 очка, после второй – 4 очка, после третьей – 8, а это значит, что с каждой последующей минутой количество очков удваивается. То есть знаменатель геометрической прогрессии q равен 2, b₁=2 по условию (после 1 минуты 2 очка). Так как очки суммируются, то будем использовать формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии S_n=$\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$, где S_n>30000, так как для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 30000 очков.

Подставляем наши данные в формулу: $\frac{2(2^n-1)}{2-1}>30000$

Упрощаем выражение: так как в знаменателе дроби получается 1, то получим 2(2ⁿ-1)>30000; делим обе части на 2: 2ⁿ-1>15000; переносим 1 в правую часть и получим: 2ⁿ>15001. Теперь надо подобрать число n, при котором будет верно наше неравенство. Делать это можно постепенно, возводя 2 в степени, а можно запомнить, что 2¹⁰=1024. Тогда легко будет добраться до числа, которое меньше 15001, а это 2¹⁴=16384, где 16384<15001. Следовательно, наш ответ 14 минут.