Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Определение

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Определение

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Определение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.

   

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Свойство углов выпуклого четырехугольника

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Определение

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

На рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов.
Свойства прямоугольника, его периметр и площадь
  1. Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
  2. Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
  3. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  4. Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b)×2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
  5. Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Определение

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата
  1. Диагонали квадрата равны (BD=AC).
  2. Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
  3. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
  4. Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
  5. Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a2, где a — длина стороны квадрата.

Параллелограмм

Определение

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

 АВ||CD, BC||AD

Свойства параллелограмма
  1. Противолежащие стороны равны (АВ=CD, BC=AD).
  2. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (AO=OC, BO=OD).
  3. У параллелограмма противоположные углы равны (угол А равен углу С, угол В равен углу D).
  4. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов.
  5. Периметр параллелограмма Р=(а + b)×2, где а и b соседние (смежные) стороны параллелограмма.
  6. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне, т.е. по формуле S=a×h

Ромб

Определение

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

АВ=CD=BC=AD

Свойства ромба
  1. Противоположные углы равны (угол А равен углу С, угол В равен углу D).
  2. Диагонали пересекаются под углом 90 градусов.
  3. Диагонали точной пересечения делятся пополам (AO=OC, BO=OD).
  4. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов.
  5. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, т.е. делят углы пополам.
  6. Периметр ромба  Р=4а, где а — длина стороны ромба.
  7. Площадь ромба S=ah, где а – сторона ромба, а h – высота, проведенная к этой стороне.
  8. Площадь ромба можно вычислить через известные длины его диагоналей, т.е. S=12..d1d2.

Трапеция

Определение

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

BC||AD

Свойство трапеции
  1. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусов
  2. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований, на высоту. Она вычисляется по формуле S=a+b2..h , где a и b – основания, а h – высота трапеции.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

углы А и С равны по 90 градусов

Равнобедренная трапецияТрапеция называется равнобедренной (равнобокой), если ее боковые стороны равны. Свойство равнобокой трапеции: у равнобокой трапеции углы при каждом основании равны, угол А равен углу В, угол С равен углу Д.

Средняя линия трапеции

ОпределениеСредняя линия трапеции – линия, проходящая через середины боковых сторон трапеции. Свойство средней линии: средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме. На рисунке средней линией является отрезок MN. Видим, что MN||BC, MN||AD. По определению MN=BC+AD2

Даниил Романович | 📄 Скачать PDF | Просмотров: 125 | Оценить:

Добавить комментарий



Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *