Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Определение

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Определение

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Определение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.

   

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Свойство углов выпуклого четырехугольника

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Определение

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

На рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов.
Свойства прямоугольника, его периметр и площадь
  1. Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
  2. Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
  3. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  4. Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b)×2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
  5. Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Определение

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата
  1. Диагонали квадрата равны (BD=AC).
  2. Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
  3. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
  4. Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
  5. Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a2, где a — длина стороны квадрата.

Параллелограмм

Определение

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

АВ||CD, BC||AD

Свойства параллелограмма
  1. Противолежащие стороны равны (АВ=CD, BC=AD).
  2. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (AO=OC, BO=OD).
  3. У параллелограмма противоположные углы равны (угол А равен углу С, угол В равен углу D).
  4. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов.
  5. Периметр параллелограмма Р=(а + b)×2, где а и b соседние (смежные) стороны параллелограмма.
  6. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне, т.е. по формуле S=a×h

Ромб

Определение

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

АВ=CD=BC=AD

Свойства ромба
  1. Противоположные углы равны (угол А равен углу С, угол В равен углу D).
  2. Диагонали пересекаются под углом 90 градусов.
  3. Диагонали точной пересечения делятся пополам (AO=OC, BO=OD).
  4. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов.
  5. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, т.е. делят углы пополам.
  6. Периметр ромба  Р=4а, где а — длина стороны ромба.
  7. Площадь ромба S=ah, где а – сторона ромба, а h – высота, проведенная к этой стороне.
  8. Площадь ромба можно вычислить через известные длины его диагоналей, т.е. S=12..d1d2.

Трапеция

Определение

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

BC||AD

Свойство трапеции
  1. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусов
  2. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований, на высоту. Она вычисляется по формуле S=a+b2..h , где a и b – основания, а h – высота трапеции.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

углы А и С равны по 90 градусов

Равнобедренная трапецияТрапеция называется равнобедренной (равнобокой), если ее боковые стороны равны. Свойство равнобокой трапеции: у равнобокой трапеции углы при каждом основании равны, угол А равен углу В, угол С равен углу Д.

Средняя линия трапеции

ОпределениеСредняя линия трапеции – линия, проходящая через середины боковых сторон трапеции. Свойство средней линии: средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме. На рисунке средней линией является отрезок MN. Видим, что MN||BC, MN||AD. По определению MN=BC+AD2
Задание 24OM21R Биссектрисы углов А и D параллелограмма АВСD пересекаются в точке N, лежащей на стороне ВС. Докажите, что N – середина ВС.

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

C:\Users\Учитель\Desktop\Inkedизображение_viber_2021-07-07_15-53-01-218_LI.jpg

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание 23OM21R

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 300 и 1350, а СD =17


Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

C:\Users\Учитель\Desktop\изображение_viber_2021-07-07_14-32-59-760.jpg

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=900, следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 1350 – 900=450 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=450, так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а2, где с=17. Следовательно, CН =172..=1722...

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН=1722... Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2×1722..=172

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание 17OM21R

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.


Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

S=a+b2..h, для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S=7+112..7=182..7=97=63

Ответ: 63

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание 16OM21R

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 222. Найти диагональ этого квадрата.


Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 222, то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 442.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 442. Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а2, где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=442×2=444=44×2=88

Ответ: 88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание 12OM21R

Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S=d1d2sina2.., где d1   и d2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d1, если d2=16, sin a=25.., a S=12,8


Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

12,8=d1×16×25..2..

В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8=d1×8×25..1..

Теперь умножим 8 на дробь 25.., получим 3,2: 12,8=d1×3,2

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d1=12,8:3,2=4

Ответ: 4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание 15OM21R Прочитайте внимательно текст и выполните задания №1-5.

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.


Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Объекты яблони теплица сарай жилой дом
Цифры

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Объекты яблони теплица сарай жилой дом
Цифры 3 5 1 7

Записываем ответ: 3517


Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

C:\Users\Учитель\Desktop\план 1.jpg

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Ответ: 11


Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

C:\Users\Учитель\Desktop\план 3.jpg

Ответ: 4


Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

C:\Users\Учитель\Desktop\гараж.jpg

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Ответ: 48


Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Номер магазина Расход краски Масса краски в одной банке Стоимость одной банки краски Стоимость доставки заказа
1 0,25 кг/кв.м 6 кг 3000 руб. 500 руб.
2 0,4 кг/кв.м 5 кг 1900 руб. 800 руб.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: 30500

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить


Даниил Романович | Просмотров: 594 | Оценить:

Добавить комментарий



Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *