Тест №16 ЕГЭ по математике (база)
Навигация (только номера заданий)
0 из 10 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
Информация
<em>Тренировочные варианты типовых тестовых заданий №16 ЕГЭ по математике. После ответа вы найдете объяснение и пояснение ко всем вариантам. Успехов в подготовке! ;-)</em>
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 10
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
- ЕГЭ по математике 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- С ответом
- С отметкой о просмотре
- Задание 1 из 10
1.
В треугольной пирамиде АВСD ребра АВ, АС и АD взаимно перпендикулярны. Найдите объем этой пирамиды, если АВ=2, АС=15 и AD=11.
ПравильноОбъем пирамиды:
Т.к. в основании пирамиды лежит прямоуг.треугольник с катетами АВ и АС (по условию АВ перпендикулярно АС), то
Sосн=АВ·АС/2.
Получаем:
Sосн=2·15/2=15.
Т.к. AD перпендикулярно АВ и АС и пересекается с ними в одной точке, то (по признаку перпендик-ти прямой и плоскости) AD перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Значит AD – высота пирамиды. Т.е. Н=AD=11.
Отсюда имеем:
НеправильноОбъем пирамиды:
Т.к. в основании пирамиды лежит прямоуг.треугольник с катетами АВ и АС (по условию АВ перпендикулярно АС), то
Sосн=АВ·АС/2.
Получаем:
Sосн=2·15/2=15.
Т.к. AD перпендикулярно АВ и АС и пересекается с ними в одной точке, то (по признаку перпендик-ти прямой и плоскости) AD перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Значит AD – высота пирамиды. Т.е. Н=AD=11.
Отсюда имеем:
Подсказка
Записываем ф-лу для определения объема пирамиды.
Находим площадь основания по ф-ле для площади прямоуг.треугольника.
Показываем, что высота пирамиды совпадает с ребром AD. Вычисляем искомый объем.
- Задание 2 из 10
2.
Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равна 2, а высота этой призмы равна 4√3. Найдите объем призмы АВСА1В1С1.
ПравильноПлощадь прав.треугольника равна:
Здесь а – сторона основания призмы. Вычислим площадь:
Объем призмы: V=Sh, где h – высота призмы, S– площадь ее основания (в нашем случае – площадь прав.треугольника, лежащего в основании).
Вычисляем объем:
НеправильноПлощадь прав.треугольника равна:
Здесь а – сторона основания призмы. Вычислим площадь:
Объем призмы: V=Sh, где h – высота призмы, S– площадь ее основания (в нашем случае – площадь прав.треугольника, лежащего в основании).
Вычисляем объем:
Подсказка
Находим площадь основы призмы через ф-лу для площади прав.треугольника.
Записываем ф-лу для объема призмы. Подставляем в нее числовые данные, вычисляем искомую величину.
- Задание 3 из 10
3.
Объем конуса равен 25π, а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса.
ПравильноОбъем конуса равен:
Отсюда:
Sосн=3V/h.
Площадь круга составляет:
S=πR2.
Поскольку в данном случае Sосн=S, то πR2=3V/h. Получаем:
НеправильноОбъем конуса равен:
Отсюда:
Sосн=3V/h.
Площадь круга составляет:
S=πR2.
Поскольку в данном случае Sосн=S, то πR2=3V/h. Получаем:
Подсказка
Записываем ф-лу для объема конуса. Из нее выражаем площадь основания.
Площадь основания расписываем по ф-ле площади круга, поскольку именно круг лежит в основании конуса.
Из этих двух формул выражаем искомую величину. Вычисляем ее.
- Задание 4 из 10
4.
Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.
Правильно
Поскольку образующая цилиндра и его высота совпадают, то DK=14. Это – одна из сторон прямоугольника, форму которого и имеет сечение.
Найдем 2-ю сторону этого прямоугольника. Из прямоуг. ∆АВО по т.Пифагора АО2=АВ2+ВО2.
Отсюда:
АО – радиус основания, поэтому АО=15. ВО=12, поскольку ВО – это расстояние от оси до плоскости сечения. Тогда имеем:
AD=2AB=2·9=18.
Площадь сечения равна: S=AD·DK=18·14=252.
НеправильноПоскольку образующая цилиндра и его высота совпадают, то DK=14. Это – одна из сторон прямоугольника, форму которого и имеет сечение.
Найдем 2-ю сторону этого прямоугольника. Из прямоуг. ∆АВО по т.Пифагора АО2=АВ2+ВО2.
Отсюда:
АО – радиус основания, поэтому АО=15. ВО=12, поскольку ВО – это расстояние от оси до плоскости сечения. Тогда имеем:
AD=2AB=2·9=18.
Площадь сечения равна: S=AD·DK=18·14=252.
Подсказка
Определяем, что образующая цилиндра – это одна из сторон сечения-прямоугольника. Вводим обозначения для точек, которые необходимы для выполнения расчетов. Получаем, что образующая – это отрезок DK.
Делаем доп.построение – соединяем точки О и А в основании цилиндра. Получаем прямоугольный ∆АВО.
Из ∆АВО по т.Пифагора находим значение АВ. Этот отрезок – половина AD. Отсюда находим AD.
Зная величину DK и AD, вычисляем площадь сечения-прямоугольника.
- Задание 5 из 10
5.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребра DA, DC и диагональ DA1 боковой грани равны соответственно 3, 5 и √34. Найдите объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
Правильно
Т.к. ABCDA1B1C1D1 параллелепипед, то угол А1АD равен 900. Поэтому ∆А1АD – прямоугольный. Тогда по т.Пифагора
А1А2+AD2=A1D2.
Отсюда получаем:
Объем параллелепипеда найдем по ф-ле:
V=AD·DC·AA1.
Тогда имеем:
V=3·5·5=75.
НеправильноТ.к. ABCDA1B1C1D1 параллелепипед, то угол А1АD равен 900. Поэтому ∆А1АD – прямоугольный. Тогда по т.Пифагора
А1А2+AD2=A1D2.
Отсюда получаем:
Объем параллелепипеда найдем по ф-ле:
V=AD·DC·AA1.
Тогда имеем:
V=3·5·5=75.
Подсказка
Соединяем вершины А1 и D. Получаем прямоуг. ∆А1АD. Из этого треугольника находим АА1.
Записываем ф-лу для вычисления объема параллелепипеда. Находим значение для объема.
- Задание 6 из 10
6.
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые ребра равны 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Правильно
Площадь бок.поверхности пирамиды равна:
Находим периметр основания:
Росн=3х, где х – сторона основания.
Росн=3·16=48.
Т.к. пирамида правильная, то ее боковые грани – равнобедренные треугольники. Тогда апофема, которая является высотой боковой грани, проведенной к основанию, является еще и медианой. Значит, SB – медиана и АВ=АС/2=16/2=8.
Из прямоуг. ∆ABS по т.Пифагора
АВ2+SB2=AS2.
Отсюда:
Т.е. апофема а = 15.
Получаем:
НеправильноПлощадь бок.поверхности пирамиды равна:
Находим периметр основания:
Росн=3х, где х – сторона основания.
Росн=3·16=48.
Т.к. пирамида правильная, то ее боковые грани – равнобедренные треугольники. Тогда апофема, которая является высотой боковой грани, проведенной к основанию, является еще и медианой. Значит, SB – медиана и АВ=АС/2=16/2=8.
Из прямоуг. ∆ABS по т.Пифагора
АВ2+SB2=AS2.
Отсюда:
Т.е. апофема а = 15.
Получаем:
Подсказка
Записываем ф-лу для площади бок.поверхности через периметр основания и апофему.
Находим периметр треугольника, лежащего в основании пирамиды.
Доказываем, что апофема является не только высотой, но и медианой для боковой стороны пирамиды.
Из прямоуг.треугольника, образованного апофемой, боковым ребром и половиной стороны основания, по т.Пифагора находим величину апофемы.
Вычисляем площадь бок.поверхности пирамиды.
- Задание 7 из 10
7.
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8, а боковое ребро равно √41.
Правильно
Объем пирамиды:
Т.к. пирамида правильная, то четырехугольник в ее основании – это квадрат. Поэтому Sосн=а2, где а – сторона основания. Имеем:
Sосн=82=64.
Из прямоуг. ∆АВС по т.Пифагора АС2=АВ2+ВС2. Отсюда:
Тогда АК=АС/2=4√2.
Из прямоуг. ∆АКS по т.Пифагора AS2=AK2+SK2. Получаем:
Т.е. Н=3.
Значит, объем пирамиды составляет:
НеправильноОбъем пирамиды:
Т.к. пирамида правильная, то четырехугольник в ее основании – это квадрат. Поэтому Sосн=а2, где а – сторона основания. Имеем:
Sосн=82=64.
Из прямоуг. ∆АВС по т.Пифагора АС2=АВ2+ВС2. Отсюда:
Тогда АК=АС/2=4√2.
Из прямоуг. ∆АКS по т.Пифагора AS2=AK2+SK2. Получаем:
Т.е. Н=3.
Значит, объем пирамиды составляет:
Подсказка
Записываем ф-лу для объема пирамиды через площадь ее основания и высоту.
Находим площадь основания, учитывая, что в основании пирамиды лежит квадрат.
Находим диагональ квадрата, лежащего в основании, как гипотенузу из ∆АВС. Используем для этого т.Пифагора Делим полученную величину пополам.
Из треугольника, построенного на половине диагонали основания, высоте пирамиды и ее боковом ребре, по т.Пифагора определяем высоту.
Вычисляем объем.
- Задание 8 из 10
8.
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, а объем параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
ПравильноОбъем прямоуг.параллелепипеда равен: V=abc, где a, b, c – ребра. Будем считать, что a и b нам известны, а с – неизвестно. Тогда из этой формулы: с=V/(ab).
Получаем: с=280/(8·5)=7.
Площадь поверхности прямоуг.параллелепипеда вычисляется так: S=2(ab+bc+ac).
Отсюда имеем: S=2(8·5+5·7+8·7)=2(40+35+56)=2·131=262.
НеправильноОбъем прямоуг.параллелепипеда равен: V=abc, где a, b, c – ребра. Будем считать, что a и b нам известны, а с – неизвестно. Тогда из этой формулы: с=V/(ab).
Получаем: с=280/(8·5)=7.
Площадь поверхности прямоуг.параллелепипеда вычисляется так: S=2(ab+bc+ac).
Отсюда имеем: S=2(8·5+5·7+8·7)=2(40+35+56)=2·131=262.
Подсказка
Записываем ф-лу для объема прямоуг.параллелепипеда. Из нее выражаем 3-е (неизвестное) ребро. Вычисляем величину этого ребра.
Записываем ф-лу для площади поверхности. Подставляем в него числовые данные, находим искомое значение.
- Задание 9 из 10
9.
Объем конуса равен 24π, а радиус его основания равен 2. Найдите высоту конуса.
ПравильноОбъем конуса составляет:
Отсюда:
Площадь основания (как площадь круга) равна:
Sосн=πR2.
Вычисляем площадь:
Sосн=π·22=4π.
Тогда высота конуса:
НеправильноОбъем конуса составляет:
Отсюда:
Площадь основания (как площадь круга) равна:
Sосн=πR2.
Вычисляем площадь:
Sосн=π·22=4π.
Тогда высота конуса:
Подсказка
Записываем ф-лу для объема конуса. Из нее выражаем высоту.
Записываем ф-лу для площади круга, лежащего в основе конуса. Вычисляем эту площадь.
Подставляем числовые данные в ф-лу для объема, вычисляем искомую величину.
- Задание 10 из 10
10.
Основанием четырехугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 12. Найдите высоту этой пирамиды, если ее объем равен 60.
ПравильноОбъем пирамиды вычисляется так:
Отсюда:
Sосн=ab, a и b – стороны прямоугольника, лежащего в основе пирамиды. Значит, Sосн=3·12=36.
Тогда получаем:
НеправильноОбъем пирамиды вычисляется так:
Отсюда:
Sосн=ab, a и b – стороны прямоугольника, лежащего в основе пирамиды. Значит, Sосн=3·12=36.
Тогда получаем:
Подсказка
Записываем ф-лу для объема пирамиды через площадь ее основания и высоту. Из нее выражаем высоту.
Находим площадь основы-прямоугольника.
Подставляем числовые данные в ф-лу для высоты, вычисляем искомую величину.
