Т.к.  угол N равен 90⁰, то ∆KMN прямоугольный. Искомый угол М в нем – острый между катетом MN и гипотенузой КМ:

Тогда, согласно определению синуса:

sin N = KN / KM.

Обе величины, входящие в эту формулу, в условии известны, поэтому сразу вычислим синус М:

sin M = 23 / 25 = 0,92

Данные, известные по условию, позволяют применить для решения основную ф-лу, используемую для определения площади в произвольном треуг-ке:

S = ½ a · b · sin α ,

где α – угол между сторонами a и b.

В нашем случае а = АВ, b = BC, α – угол АВС.

Тогда получаем:

Если ВН высота, значит ВН ḻ АС. Тогда угол АНВ прямой, т.е. равен 90⁰.

Обозначим искомый угол АВН через х. Применив к ∆ АВН т-му о сумме углов, получим:

46⁰ + 90⁰ + х = 180⁰

136⁰ + х = 180⁰

х = 180⁰ – 136⁰ = 44⁰

Для произвольного треугольника обычно применяется такая ф-ла расчета площади:

где a и b – две из трех сторон треуг-ка, α – угол между a и b.

Соответственно, для ∆АВС и ∆КВС имеем:

Разделим 1-е полученное уравнение на 2-е. Получим:

Обозначим искомую величину (S_KBC) через х. Подставим в полученную пропорцию известные по условию величины (учтем при этом, что АС=АК+КС). Сократим дробь в правой части полученной пропорции на ВС и на sinα (поскольку эти элементы треугольников являются общими для обоих фигур), а также на 1/2. Получаем:

1-й способ решения.

Для прямоуг.треугольника имеется св-во: высота, опущенная на его гипотенузу, численно равна кв.корню из ср.геометрического отрезков, на которые высота разделила эту гипотенузу. Следовательно, получим:

2-й способ решения.

Обозначим искомое СН через х.

Запишем уравнения т.Пифагора для треуг-ков АСН, ВСН и АВС:

СН² + АН² = АС²

СН² + НВ² = СВ²

АС² + СВ² = АВ²

Подставим в этим уравнения соответствующие значения:

х² + 2² = АС²             (1)

х² + 8² = СВ²             (2)

АС² + СВ² = (2+8)²    (3)

(1 + 2) : х² +х² +2² + 8² = АС² + СВ²

2х² + 4 + 64 = АС² + СВ²

2х² + 68 = АС² + СВ²          (4)

(3 → 4) : 2х² + 68 = (2 + 8)²

2х² + 68 = 100

2х² = 32

х² = 16

х = 4

Площадь параллелограмма вычисляется так:

S = ah_a .

Отсюда выразим высоту:

h_a = S / a .

Вычислим высоту, опущенную на меньшую (боковую) сторону:

h₁ = 40 / 5 = 8 .

Определим высоту, опущенную на большую сторону (основание):

h₂ = 40 / 10 = 4 .

Итак, имеем 2 значения – 8 и 4. Меньшее из них равно 4.

Поскольку дана равнобочная трапеция, то имеем:

Поскольку во всяком четырехугольнике сумма углов составляет 360⁰, то в нем не может быть больше 2-х тупых углов. В трапеции пара тупых углов имеется при верхнем основании, а при нижнем – пара острых. По условии дан угол 55⁰, значит, это угол при нижнем основании.

Если трапеция равнобочная, то сумма пары углов при нижнем основании равна 2 · 55⁰ = 110⁰.

Отсюда следует, что пара углов при верхнем основании составляет 360⁰ – 110⁰ = 250⁰.

Поскольку в равнобедренной трапеции эти углы тоже равны, то искомый (больший) угол составляет 250⁰ : 2 = 125⁰.

Для равностороннего треуг-ка имеется св-во: медиана, опущенная на любую из его сторон, является еще и высотой. Поэтому ВК – высота и тогда ∆ВКС прямоугольный.

Применим к ∆ВКС т.Пифагора:

ВК² + КС² = ВС² .

Поскольку КС медиана, то АК = КС = АС / 2.

Поскольку ∆АВС равносторонний, то ВС = АС.

Обозначим КС через х. Тогда ВС = 2КС = 2х.

Подставим эти обозначения и имеющееся (в условии) числовое данное в уравнение т.Пифагора. Получим:

х² + (13√3)² = (2х)²

Решим это уравнение:

х² + 507 = 4х²

3х² = 507

х² = 169

х = √169 = 13

Поскольку сторона треуг-ка равна 2х, то имеем:

2 · 13 = 26

Поскольку КМ || АС, то ∆АВС и ∆КВМ подобны. Это означает, то их стороны пропорциональны. Тогда

КМ : АС = ВМ : ВС.

Обозначим ВМ (искомый отрезок) через х. Отсюда ВС = ВМ + МС = х + 32.

Подставим эти значения и числовые данные из условия в пропорцию и решим ее:

17 : 51 = х : (х + 32)

51х = 17(х + 32)

51х = 17х + 544

51х – 17х = 544

34х = 544

х = 16

Линии диагоналей делят ромб на 4 одинаковых треуг-ка. Их равенство следует из 2 аспектов: 1) диагонали в точке пересечения делятся пополам, образуя равные соответствующие пары сторон для треугольников; 2) стороны ромба равны, что обеспечивает равенство и третьих сторон треуг-ков.

Отсюда получаем:

S_◊ = 4 · S_∆ .

Найдем площадь каждого из таких треугольников:

S_∆ = a · h_a / 2 ,

где а – сторона треуг-ка (в нашем случае – ромба), h_a – высота (в нашем случае – расстояние от точки пересеч.диагоналей до стороны ромба).

Вычислим эту площадь:

S_∆ = 8 · 3 / 2= 12 .

Найдем площадь всего ромба:

S_◊ = 4 · 12 = 48 .