Тест №16 ОГЭ по математике
Навигация (только номера заданий)
0 из 10 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
Информация
Тестовые задания №16 ОГЭ по математике.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 10
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
- ОГЭ по математике 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- С ответом
- С отметкой о просмотре
- Задание 1 из 10
1.
1. В треугольнике KMN даны стороны KN=23 и KM=25. Угол N составляет 900. Вычислите sin M.
ПравильноТ.к. угол N равен 900, то ∆KMN прямоугольный. Искомый угол М в нем – острый между катетом MN и гипотенузой КМ:
Тогда, согласно определению синуса:
sin N = KN / KM.
Обе величины, входящие в эту формулу, в условии известны, поэтому сразу вычислим синус М:
sin M = 23 / 25 = 0,92
НеправильноТ.к. угол N равен 900, то ∆KMN прямоугольный. Искомый угол М в нем – острый между катетом MN и гипотенузой КМ:
Тогда, согласно определению синуса:
sin N = KN / KM.
Обе величины, входящие в эту формулу, в условии известны, поэтому сразу вычислим синус М:
sin M = 23 / 25 = 0,92
Подсказка
Исходить нужно из того, что треугольник дан прямоугольный. В этом случае синус угла определяется как отношение катета, противолежащего искомому углу, к гипотенузе. Как раз эти величины и известны по условию, поэтому задача решается одним действием.
- Задание 2 из 10
2.
2. Дан треугольник АВС, в котором известно, что:
Вычислите площадь ∆ АВС.
ПравильноДанные, известные по условию, позволяют применить для решения основную ф-лу, используемую для определения площади в произвольном треуг-ке:
S = ½ a · b · sin α ,
где α – угол между сторонами a и b.
В нашем случае а = АВ, b = BC, α – угол АВС.
Тогда получаем:
НеправильноДанные, известные по условию, позволяют применить для решения основную ф-лу, используемую для определения площади в произвольном треуг-ке:
S = ½ a · b · sin α ,
где α – угол между сторонами a и b.
В нашем случае а = АВ, b = BC, α – угол АВС.
Тогда получаем:
Подсказка
Для решения следует использовать основную формулу для определения площади, которая позволяет вычислить ее как половину произведения 2-х сторон, умноженного на синус угла между ними.
- Задание 3 из 10
3.
3. В треугольнике АВС провели высоту из вершины В на сторону АС. Высота пересекает эту сторону в точке Н. Определите угол АВН, если известно, что ∆ АВС остроугольный и угол ВАС равен 460.
ПравильноЕсли ВН высота, значит ВН ḻ АС. Тогда угол АНВ прямой, т.е. равен 900.
Обозначим искомый угол АВН через х. Применив к ∆ АВН т-му о сумме углов, получим:
460 + 900 + х = 1800
1360 + х = 1800
х = 1800 – 1360 = 440
НеправильноЕсли ВН высота, значит ВН ḻ АС. Тогда угол АНВ прямой, т.е. равен 900.
Обозначим искомый угол АВН через х. Применив к ∆ АВН т-му о сумме углов, получим:
460 + 900 + х = 1800
1360 + х = 1800
х = 1800 – 1360 = 440
Подсказка
Высота, опущенная на сторону АС образует с ее частью (отрезком АН) и стороной АВ прямоуг.треугольник. Это значит, что 2-й из его углов точно равен 900 (первый по условию = 460). Тогда 3-й угол можно найти, используя теорему о сумме углов треуг-ка.
- Задание 4 из 10
4.
4. Дан треугольник АВС. На его стороне АС имеется точка К, которая делит эту сторону на отрезки АК=4 и КС=6. Известно, что площадь треугольника АВС составляет 20. Вычислите площадь треугольника ВСК.
ПравильноДля произвольного треугольника обычно применяется такая ф-ла расчета площади:
где a и b – две из трех сторон треуг-ка, α – угол между a и b.
Соответственно, для ∆АВС и ∆КВС имеем:
Разделим 1-е полученное уравнение на 2-е. Получим:
Обозначим искомую величину (SKBC) через х. Подставим в полученную пропорцию известные по условию величины (учтем при этом, что АС=АК+КС). Сократим дробь в правой части полученной пропорции на ВС и на sinα (поскольку эти элементы треугольников являются общими для обоих фигур), а также на 1/2. Получаем:
НеправильноДля произвольного треугольника обычно применяется такая ф-ла расчета площади:
где a и b – две из трех сторон треуг-ка, α – угол между a и b.
Соответственно, для ∆АВС и ∆КВС имеем:
Разделим 1-е полученное уравнение на 2-е. Получим:
Обозначим искомую величину (SKBC) через х. Подставим в полученную пропорцию известные по условию величины (учтем при этом, что АС=АК+КС). Сократим дробь в правой части полученной пропорции на ВС и на sinα (поскольку эти элементы треугольников являются общими для обоих фигур), а также на 1/2. Получаем:
Подсказка
Для решения используем основную ф-лу для расчета площади произвольного треуг-ка (S= ½ ab·sin α).
Следует рассмотреть ∆АВС и ∆КВС. Для каждого из них применяем приведенную выше формулу. В качестве элементов, входящих в нее, используем соответственно: 1) стороны АС и КС; 2) сторону ВС, которая является общей для обоих треугольников; 3) общий для треугольников угол С.
Делим уравнение для площади ∆АВС на уравнение для ∆КВС. Находим из полученной пропорции искомую площадь.
- Задание 5 из 10
5.
5. В прямоугольном треугольнике АВС на гипотенузу АВ опущена высота СН. Отрезки, на которые точка Н делит гипотенузу, равны 2 и 8. Вычислите длину высоты СН.
Правильно1-й способ решения.
Для прямоуг.треугольника имеется св-во: высота, опущенная на его гипотенузу, численно равна кв.корню из ср.геометрического отрезков, на которые высота разделила эту гипотенузу. Следовательно, получим:
2-й способ решения.
Обозначим искомое СН через х.
Запишем уравнения т.Пифагора для треуг-ков АСН, ВСН и АВС:
СН2 + АН2 = АС2
СН2 + НВ2 = СВ2
АС2 + СВ2 = АВ2
Подставим в этим уравнения соответствующие значения:
х2 + 22 = АС2 (1)
х2 + 82 = СВ2 (2)
АС2 + СВ2 = (2+8)2 (3)
(1 + 2) : х2 +х2 +22 + 82 = АС2 + СВ2
2х2 + 4 + 64 = АС2 + СВ2
2х2 + 68 = АС2 + СВ2 (4)
(3 → 4) : 2х2 + 68 = (2 + 8)2
2х2 + 68 = 100
2х2 = 32
х2 = 16
х = 4
Неправильно1-й способ решения.
Для прямоуг.треугольника имеется св-во: высота, опущенная на его гипотенузу, численно равна кв.корню из ср.геометрического отрезков, на которые высота разделила эту гипотенузу. Следовательно, получим:
2-й способ решения.
Обозначим искомое СН через х.
Запишем уравнения т.Пифагора для треуг-ков АСН, ВСН и АВС:
СН2 + АН2 = АС2
СН2 + НВ2 = СВ2
АС2 + СВ2 = АВ2
Подставим в этим уравнения соответствующие значения:
х2 + 22 = АС2 (1)
х2 + 82 = СВ2 (2)
АС2 + СВ2 = (2+8)2 (3)
(1 + 2) : х2 +х2 +22 + 82 = АС2 + СВ2
2х2 + 4 + 64 = АС2 + СВ2
2х2 + 68 = АС2 + СВ2 (4)
(3 → 4) : 2х2 + 68 = (2 + 8)2
2х2 + 68 = 100
2х2 = 32
х2 = 16
х = 4
Подсказка
Задачу можно решить 2-мя способами.
Первый – с использованием св-ва высоты, опущенной на гипотенузу. Она определяется как кв.корень из ср.геометрического отрезков, на которые гипотенуза разбивается высотой.
Второй – с 3-кратным применением т.Пифагора. Это менее рациональный способ, однако он позволяет найти искомую величину без использования специальных свойств прямоуг.треугольника. Т.Пифагора применяется для каждого из треугольников, имеющихся на рисунке. Из 3-х полученных уравнений определяется высота.
- Задание 6 из 10
6.
6. Дан параллелограмм со сторонами 10 и 5. Его площадь составляет 40. Вычислите его высоты. В ответе укажите меньшее из полученных значений.
ПравильноПлощадь параллелограмма вычисляется так:
S = aha .
Отсюда выразим высоту:
ha = S / a .
Вычислим высоту, опущенную на меньшую (боковую) сторону:
h1 = 40 / 5 = 8 .
Определим высоту, опущенную на большую сторону (основание):
h2 = 40 / 10 = 4 .
Итак, имеем 2 значения – 8 и 4. Меньшее из них равно 4.
НеправильноПлощадь параллелограмма вычисляется так:
S = aha .
Отсюда выразим высоту:
ha = S / a .
Вычислим высоту, опущенную на меньшую (боковую) сторону:
h1 = 40 / 5 = 8 .
Определим высоту, опущенную на большую сторону (основание):
h2 = 40 / 10 = 4 .
Итак, имеем 2 значения – 8 и 4. Меньшее из них равно 4.
Подсказка
Для решения следует использовать ф-лу для вычисления площади параллелограмма через его сторону и высоту, проведенную на эту сторону. Из этой формулы нужно выразить высоту.
- Задание 7 из 10
7.
7. Дана равнобедренная трапеция. Один из ее углов составляет 550. Определите величину большего угла трапеции (в градусах).
ПравильноПоскольку дана равнобочная трапеция, то имеем:
Поскольку во всяком четырехугольнике сумма углов составляет 3600, то в нем не может быть больше 2-х тупых углов. В трапеции пара тупых углов имеется при верхнем основании, а при нижнем – пара острых. По условии дан угол 550, значит, это угол при нижнем основании.
Если трапеция равнобочная, то сумма пары углов при нижнем основании равна 2 · 550 = 1100.
Отсюда следует, что пара углов при верхнем основании составляет 3600 – 1100 = 2500.
Поскольку в равнобедренной трапеции эти углы тоже равны, то искомый (больший) угол составляет 2500 : 2 = 1250.
НеправильноПоскольку дана равнобочная трапеция, то имеем:
Поскольку во всяком четырехугольнике сумма углов составляет 3600, то в нем не может быть больше 2-х тупых углов. В трапеции пара тупых углов имеется при верхнем основании, а при нижнем – пара острых. По условии дан угол 550, значит, это угол при нижнем основании.
Если трапеция равнобочная, то сумма пары углов при нижнем основании равна 2 · 550 = 1100.
Отсюда следует, что пара углов при верхнем основании составляет 3600 – 1100 = 2500.
Поскольку в равнобедренной трапеции эти углы тоже равны, то искомый (больший) угол составляет 2500 : 2 = 1250.
Подсказка
Углы в равнобочной трапеции попарно (при соответствующих основаниях) равны. Данный в условии угол (550) является углом при нижнем основании. Значит, сумма двух нижних углов равна 1100.
Сумма углов трапеции составляет 3600. Поэтому пара верхних (больших) углов в сумме равна 3600–1100. Далее полученную разность делим пополам и получаем искомое значение.
- Задание 8 из 10
8.
8. Дан равносторонний треугольник. Его медиана равна 13√3. Вычислите его сторону.
ПравильноДля равностороннего треуг-ка имеется св-во: медиана, опущенная на любую из его сторон, является еще и высотой. Поэтому ВК – высота и тогда ∆ВКС прямоугольный.
Применим к ∆ВКС т.Пифагора:
ВК2 + КС2 = ВС2 .
Поскольку КС медиана, то АК = КС = АС / 2.
Поскольку ∆АВС равносторонний, то ВС = АС.
Обозначим КС через х. Тогда ВС = 2КС = 2х.
Подставим эти обозначения и имеющееся (в условии) числовое данное в уравнение т.Пифагора. Получим:
х2 + (13√3)2 = (2х)2
Решим это уравнение:
х2 + 507 = 4х2
3х2 = 507
х2 = 169
х = √169 = 13
Поскольку сторона треуг-ка равна 2х, то имеем:
2 · 13 = 26
НеправильноДля равностороннего треуг-ка имеется св-во: медиана, опущенная на любую из его сторон, является еще и высотой. Поэтому ВК – высота и тогда ∆ВКС прямоугольный.
Применим к ∆ВКС т.Пифагора:
ВК2 + КС2 = ВС2 .
Поскольку КС медиана, то АК = КС = АС / 2.
Поскольку ∆АВС равносторонний, то ВС = АС.
Обозначим КС через х. Тогда ВС = 2КС = 2х.
Подставим эти обозначения и имеющееся (в условии) числовое данное в уравнение т.Пифагора. Получим:
х2 + (13√3)2 = (2х)2
Решим это уравнение:
х2 + 507 = 4х2
3х2 = 507
х2 = 169
х = √169 = 13
Поскольку сторона треуг-ка равна 2х, то имеем:
2 · 13 = 26
Подсказка
Используем св-во прав.треугольника о том, что его медиана = высота.
Рассматриваем прямоуг.треугольник, состоящий из медианы, половины стороны, на которую медиана опущена, и другой стороны треуг-ка. Применяем т.Пифагора, находим искомую сторону.
- Задание 9 из 10
9.
9. В треугольнике АВС проведена прямая, параллельная его стороне АС. Эта прямая пересекается стороны треугольника АВ и ВС в точках К и М (соответственно). Известно, что АС=51, КМ=17, МС=32. Вычислите ВМ.
ПравильноПоскольку КМ || АС, то ∆АВС и ∆КВМ подобны. Это означает, то их стороны пропорциональны. Тогда
КМ : АС = ВМ : ВС.
Обозначим ВМ (искомый отрезок) через х. Отсюда ВС = ВМ + МС = х + 32.
Подставим эти значения и числовые данные из условия в пропорцию и решим ее:
17 : 51 = х : (х + 32)
51х = 17(х + 32)
51х = 17х + 544
51х – 17х = 544
34х = 544
х = 16
НеправильноПоскольку КМ || АС, то ∆АВС и ∆КВМ подобны. Это означает, то их стороны пропорциональны. Тогда
КМ : АС = ВМ : ВС.
Обозначим ВМ (искомый отрезок) через х. Отсюда ВС = ВМ + МС = х + 32.
Подставим эти значения и числовые данные из условия в пропорцию и решим ее:
17 : 51 = х : (х + 32)
51х = 17(х + 32)
51х = 17х + 544
51х – 17х = 544
34х = 544
х = 16
Подсказка
Проведенная прямая делит треугольник на 2 подобных. Рассмотрев их, составим пропорцию и двух пар соответствующих сторон. Из нее найдем искомый отрезок.
- Задание 10 из 10
10.
10. Дан ромб, сторона которого равна 8. Расстояние между точкой пересечения его диагоналей и стороной составляет 3. Вычислите площадь такого ромба.
ПравильноЛинии диагоналей делят ромб на 4 одинаковых треуг-ка. Их равенство следует из 2 аспектов: 1) диагонали в точке пересечения делятся пополам, образуя равные соответствующие пары сторон для треугольников; 2) стороны ромба равны, что обеспечивает равенство и третьих сторон треуг-ков.
Отсюда получаем:
S◊ = 4 · S∆ .
Найдем площадь каждого из таких треугольников:
S∆ = a · ha / 2 ,
где а – сторона треуг-ка (в нашем случае – ромба), ha – высота (в нашем случае – расстояние от точки пересеч.диагоналей до стороны ромба).
Вычислим эту площадь:
S∆ = 8 · 3 / 2= 12 .
Найдем площадь всего ромба:
S◊ = 4 · 12 = 48 .
НеправильноЛинии диагоналей делят ромб на 4 одинаковых треуг-ка. Их равенство следует из 2 аспектов: 1) диагонали в точке пересечения делятся пополам, образуя равные соответствующие пары сторон для треугольников; 2) стороны ромба равны, что обеспечивает равенство и третьих сторон треуг-ков.
Отсюда получаем:
S◊ = 4 · S∆ .
Найдем площадь каждого из таких треугольников:
S∆ = a · ha / 2 ,
где а – сторона треуг-ка (в нашем случае – ромба), ha – высота (в нашем случае – расстояние от точки пересеч.диагоналей до стороны ромба).
Вычислим эту площадь:
S∆ = 8 · 3 / 2= 12 .
Найдем площадь всего ромба:
S◊ = 4 · 12 = 48 .
Подсказка
Площадь ромба состоит из суммы площадей треугольников, на которые он разделяется диагоналями. Таких треугольников 4, и они одинаковы. Это значит, что, найдя площадь одного из этих треугольников и умножив результат на 4, мы получим искомую площадь.