Поскольку окружность описана вокруг квадрата, то отрезок АС с одной стороны является диаметром  этой окружности, а с другой – диагональю квадрата. Найдя величину диагонали, найдем, соответственно, и диаметр, а из него – искомый радиус.

Рассм. ∆АВС. Он прямоугольный, поскольку базируется на смежных сторонах квадрата. По т.Пифагора имеем:

АВ² + ВС² = АС²

Подставим числовое значение для стороны:

(4√2)² + (4√2)² = АС²

Получим:

АС² = 2(4√2)² = 2 · 4² · (√2)² = 2 · 16 · 2 = 64

АС = √64 = 8

Если диаметр окружности АС = 8, значит, ее радиус составляет 8 : 2 = 4.

Четырехугольник может быть вписан в окружность только при условии, что его противоположные углы в сумме образуют развернутый угол. Это означает, что:

Тогда:

Вычислим угол С:

180⁰ – 108⁰ = 72⁰ .

Радиус вписанной в прав.треугольник можно определить по ф-ле:

где а – сторона прав.треугольника.

Найдем из этой ф-лы сторону треуг-ка:

Далее рассм. ∆ВКС.

Он прямоугольный, поскольку ВК – высота. Поэтому можем применить т.Пифагора. Получим:

ВК² + КС² = ВС², где КС = АС / 2 = а / 2 = 20√3 / 2 = 10√3 .

Отсюда найдем ВК:

ВК² = ВС² – КС² = (20√3)² – (10√3)² = 400·3 – 100·3 = 3 · (400 – 100) = 900

ВК = √900 = 30

Соединим центр окружности (т.О) с точками К и С:

Получили ∆КОС. Он равнобедренный, поскольку ОК = ОС = R. Тогда углы ОКС и ОСК равны (обозначены красным).

Угол КОС опирается на дугу КС и является центральным. Значит, его величина составляет 26⁰. Отсюда получаем, что угол ОКС равен:

(180⁰ – 26⁰) : 2 = 77⁰ .

Если КМ – касательная к окружности, то по св-ву касательных ОК ḻ КМ и, соответственно, угол ОКМ равен 90⁰. Из рисунка видно, что угол ОКМ разбивается хордой КС на углы ОКС и СКМ (искомый угол). Следовательно, угол СКМ составляет:

90⁰ – 77⁰ = 13⁰ .

Согласно т-мы о касательной и секущей

АК² = АС · АВ .

Найдем числовое значение искомой секущей:

АК² = 64 · 4 = 8² · 2²

АК = 8 · 2 =16

Если четырехугольник описан вокруг окружности, то суммы противолежащих его сторон между собой равны. Т.е.:

АВ + СМ = ВС + МА .

Отсюда выразим искомую величину:

МА = АВ + СМ – ВС .

Вычислим МА:

МА = 9 + 19 – 15 = 13 .

Поскольку 2 хорды (АМ и ВК) пересекаются в одной точке, то можем записать:

АС · МС = ВС · КС .

Выразим отсюда искомый отрезок:

АС = ВС · КС / МС .

Вычислим АС:

АС = 9 ·20 / 15 = 12 .

Рассм. ∆АЕС и ∆КЕМ.

Поскольку АКМС вписан в окружность, то

Т.к. углы СМК и КМЕ смежные, то

Видим, что в этих уравнениях фигурирует один и тот же угол – КМС. Поскольку его сумма с углом А и углом КМЕ в обоих случаях равна 180⁰, значит,

Итак, равенство одной пары углов в треуг-ках доказано.

Плюс в этих треугольниках имеется общий угол – К. Следовательно, по 1-му признаку подобия (по 2-м углам) ∆АЕС подобен ∆КЕМ. Вывод: его соответствующие стороны пропорциональны. В нашем случае используем стороны: 1) АС и КМ; 2) СЕ и КЕ.

Составим пропорцию и решим ее:

АС : КМ = СЕ : КЕ

АС = КМ · СЕ / КЕ

АС = 10 · 14 / 7 = 20

Сделаем рисунок к задаче:

Сразу зафиксируем, что искомая величина АК равна:

АК = АО + КО .

Здесь АО – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на ее линии. Поэтому

АО = R = d / 2 .

По условию d = 8,4, поэтому

АО = 8,4 / 2 = 4,2 .

Найдем КО.

Для этого рассм. ∆ОВК. Он прямоугольный, поскольку ВК – касательная, а следовательно, ВК ḻ ВО.

Тогда по т.Пифагора

ВО² + ВК² = КО² .

Отсюда:

КО² = R² + 4² = (d/2)² + 4² = 4,22 + 42 = 17,64 + 16 = 33,64 ;

KO = √33,64 = 5,8 .

Получаем:

АК = 4,2 + 5,8 = 10 .

Угол АВС, который требуется определить, опирается на дугу АС. Эта дуга является суммой дуг АР и РС, т.е.

ᴗАС = ᴗАР + ᴗРС.

Из рисунка видно, что на дугу АР опирается угол АВР, на дугу РС – угол РАС (обозначено, соответственно, зеленым и красным). Имеется св-во дуги, опирающейся на угол: ее величина вдвое больше величины угла, который на нее опирается.

По условию, угол АВР составляет 16⁰, угол РАС – 32⁰. Соответственно, имеем:

ᴗАР = 2 · 16⁰ = 32⁰ ;

ᴗРС = 2 · 32⁰ = 64⁰ .

Отсюда:

ᴗАС = 32⁰ + 64⁰ = 96⁰ .

Применив теперь то же св-во дуги для ᴗАС и опирающегося на нее угла АВС, получим: