Тест №17 ОГЭ по математике
Навигация (только номера заданий)
0 из 10 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
Информация
Тестовые задания №17 ОГЭ по математике.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 10
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
- ОГЭ по математике 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- С ответом
- С отметкой о просмотре
- Задание 1 из 10
1.
1. Дан квадрат со стороной 4√2. Вокруг квадрата описана окружность. Вычислите ее радиус.
Правильно
Поскольку окружность описана вокруг квадрата, то отрезок АС с одной стороны является диаметром этой окружности, а с другой – диагональю квадрата. Найдя величину диагонали, найдем, соответственно, и диаметр, а из него – искомый радиус.
Рассм. ∆АВС. Он прямоугольный, поскольку базируется на смежных сторонах квадрата. По т.Пифагора имеем:
АВ2 + ВС2 = АС2
Подставим числовое значение для стороны:
(4√2)2 + (4√2)2 = АС2
Получим:
АС2 = 2(4√2)2 = 2 · 42 · (√2)2 = 2 · 16 · 2 = 64
АС = √64 = 8
Если диаметр окружности АС = 8, значит, ее радиус составляет 8 : 2 = 4.
НеправильноПоскольку окружность описана вокруг квадрата, то отрезок АС с одной стороны является диаметром этой окружности, а с другой – диагональю квадрата. Найдя величину диагонали, найдем, соответственно, и диаметр, а из него – искомый радиус.
Рассм. ∆АВС. Он прямоугольный, поскольку базируется на смежных сторонах квадрата. По т.Пифагора имеем:
АВ2 + ВС2 = АС2
Подставим числовое значение для стороны:
(4√2)2 + (4√2)2 = АС2
Получим:
АС2 = 2(4√2)2 = 2 · 42 · (√2)2 = 2 · 16 · 2 = 64
АС = √64 = 8
Если диаметр окружности АС = 8, значит, ее радиус составляет 8 : 2 = 4.
Подсказка
Диагональ квадрата – это диаметр окружности.
Рассматриваем треугольник, образованный парой соседних сторон квадрата и диагональю (т.е. диаметром окружности). Он прямоугольный. Применяем т.Пифагора и находим величину диаметра, а из нее – радиус.
Далее вычисляем обе высоты, сравниваем их, определяем меньшую.
- Задание 2 из 10
2.
2. Дан четырехугольник АВСD. Вокруг него описана окружность. Угол А этого четырехугольника составляет 1080. Определите (в градусах) его угол С.
ПравильноЧетырехугольник может быть вписан в окружность только при условии, что его противоположные углы в сумме образуют развернутый угол. Это означает, что:
Тогда:
Вычислим угол С:
1800 – 1080 = 720 .
НеправильноЧетырехугольник может быть вписан в окружность только при условии, что его противоположные углы в сумме образуют развернутый угол. Это означает, что:
Тогда:
Вычислим угол С:
1800 – 1080 = 720 .
Подсказка
Следует использовать св-во вписанных четырехугольников о том, что сумма его противоположных углов составляет 1800.
- Задание 3 из 10
3.
3. Дан равносторонний треугольник. В него вписана окружность радиуса 10. Вычислите его высоту.
Правильно
Радиус вписанной в прав.треугольник можно определить по ф-ле:
где а – сторона прав.треугольника.
Найдем из этой ф-лы сторону треуг-ка:
Далее рассм. ∆ВКС.
Он прямоугольный, поскольку ВК – высота. Поэтому можем применить т.Пифагора. Получим:
ВК2 + КС2 = ВС2, где КС = АС / 2 = а / 2 = 20√3 / 2 = 10√3 .
Отсюда найдем ВК:
ВК2 = ВС2 – КС2 = (20√3)2 – (10√3)2 = 400·3 – 100·3 = 3 · (400 – 100) = 900
ВК = √900 = 30
НеправильноРадиус вписанной в прав.треугольник можно определить по ф-ле:
где а – сторона прав.треугольника.
Найдем из этой ф-лы сторону треуг-ка:
Далее рассм. ∆ВКС.
Он прямоугольный, поскольку ВК – высота. Поэтому можем применить т.Пифагора. Получим:
ВК2 + КС2 = ВС2, где КС = АС / 2 = а / 2 = 20√3 / 2 = 10√3 .
Отсюда найдем ВК:
ВК2 = ВС2 – КС2 = (20√3)2 – (10√3)2 = 400·3 – 100·3 = 3 · (400 – 100) = 900
ВК = √900 = 30
Подсказка
Из формулы для радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник, находим его сторону.
Рассматриваем прямоуг.треугольник, образованный высотой, половиной стороны треуг-ка и прилежащей к ней другой его стороны. Применив т.Пифагора, найдем величину высоты.
- Задание 4 из 10
4.
4. Дана окружность и на ней точки К и С. Меньшая дуга КС составляет 260. К окружности в точке К проведена касательная КМ, образуя острый угол СКМ. Определите (в градусах) величину угла СКМ.
ПравильноСоединим центр окружности (т.О) с точками К и С:
Получили ∆КОС. Он равнобедренный, поскольку ОК = ОС = R. Тогда углы ОКС и ОСК равны (обозначены красным).
Угол КОС опирается на дугу КС и является центральным. Значит, его величина составляет 260. Отсюда получаем, что угол ОКС равен:
(1800 – 260) : 2 = 770 .
Если КМ – касательная к окружности, то по св-ву касательных ОК ḻ КМ и, соответственно, угол ОКМ равен 900. Из рисунка видно, что угол ОКМ разбивается хордой КС на углы ОКС и СКМ (искомый угол). Следовательно, угол СКМ составляет:
900 – 770 = 130 .
НеправильноСоединим центр окружности (т.О) с точками К и С:
Получили ∆КОС. Он равнобедренный, поскольку ОК = ОС = R. Тогда углы ОКС и ОСК равны (обозначены красным).
Угол КОС опирается на дугу КС и является центральным. Значит, его величина составляет 260. Отсюда получаем, что угол ОКС равен:
(1800 – 260) : 2 = 770 .
Если КМ – касательная к окружности, то по св-ву касательных ОК ḻ КМ и, соответственно, угол ОКМ равен 900. Из рисунка видно, что угол ОКМ разбивается хордой КС на углы ОКС и СКМ (искомый угол). Следовательно, угол СКМ составляет:
900 – 770 = 130 .
Подсказка
Соединяем точки К и С с центром окружности. Рассматриваем треугольник, образованный парой обозначенных радиусов и хордой КС. Этот треугольник равнобедренный (с вершиной в центре окружности). Поэтому углы при его вершинах К и С равны и составляют (1800 – 260) : 2.
Т.к. КМ – касательная, то угол, очерченный радиусом, проведенным к т.К, и прямой КМ является прямым. Он разделен на 2 части хордой КС. Отсюда находим искомый угол как 900 минус угол при вершине К в нашем равнобедренном треугольнике.
- Задание 5 из 10
5.
5. Дана окружность и точка А вне этой окружности. Через А проведены прямые – первая, пересекающая окружность в точках В и С, и вторая, касающаяся нее в т.К. Известно, что АС = 64 и АВ = 4. Вычислить АК.
ПравильноСогласно т-мы о касательной и секущей
АК2 = АС · АВ .
Найдем числовое значение искомой секущей:
АК2 = 64 · 4 = 82 · 22
АК = 8 · 2 =16
НеправильноСогласно т-мы о касательной и секущей
АК2 = АС · АВ .
Найдем числовое значение искомой секущей:
АК2 = 64 · 4 = 82 · 22
АК = 8 · 2 =16
Подсказка
Для решения следует использовать т-му о касательной к окружности и ее секущей.
- Задание 6 из 10
6.
6. Около окружности описан четырехугольник АВСМ. Известны его стороны АВ = 9, ВС = 15, СМ = 19. Определите МА.
ПравильноЕсли четырехугольник описан вокруг окружности, то суммы противолежащих его сторон между собой равны. Т.е.:
АВ + СМ = ВС + МА .
Отсюда выразим искомую величину:
МА = АВ + СМ – ВС .
Вычислим МА:
МА = 9 + 19 – 15 = 13 .
НеправильноЕсли четырехугольник описан вокруг окружности, то суммы противолежащих его сторон между собой равны. Т.е.:
АВ + СМ = ВС + МА .
Отсюда выразим искомую величину:
МА = АВ + СМ – ВС .
Вычислим МА:
МА = 9 + 19 – 15 = 13 .
Подсказка
Для решения следует использовать св-во описанного четырехугольника: суммы противоположных его сторон равны.
- Задание 7 из 10
7.
7. В окружности проведена пара хорд АМ и ВК так, что они пересекаются в точке С. Вычислите длину отрезка АС, если МС = 15, ВС = 9, КС = 20.
ПравильноПоскольку 2 хорды (АМ и ВК) пересекаются в одной точке, то можем записать:
АС · МС = ВС · КС .
Выразим отсюда искомый отрезок:
АС = ВС · КС / МС .
Вычислим АС:
АС = 9 ·20 / 15 = 12 .
НеправильноПоскольку 2 хорды (АМ и ВК) пересекаются в одной точке, то можем записать:
АС · МС = ВС · КС .
Выразим отсюда искомый отрезок:
АС = ВС · КС / МС .
Вычислим АС:
АС = 9 ·20 / 15 = 12 .
Подсказка
Для решения нужно применить св-во пересекающихся хорд: произведения отрезков, на которые хорды делятся в точке пересечения, равны между собой.
- Задание 8 из 10
8.
8. В окружность вписан четырехугольник АКМС. Прямые, на которых лежат стороны АК и МС, пересекаются в точке Е. Определите АС, если КМ = 10, СЕ = 14, КЕ = 7.
ПравильноРассм. ∆АЕС и ∆КЕМ.
Поскольку АКМС вписан в окружность, то
Т.к. углы СМК и КМЕ смежные, то
Видим, что в этих уравнениях фигурирует один и тот же угол – КМС. Поскольку его сумма с углом А и углом КМЕ в обоих случаях равна 1800, значит,
Итак, равенство одной пары углов в треуг-ках доказано.
Плюс в этих треугольниках имеется общий угол – К. Следовательно, по 1-му признаку подобия (по 2-м углам) ∆АЕС подобен ∆КЕМ. Вывод: его соответствующие стороны пропорциональны. В нашем случае используем стороны: 1) АС и КМ; 2) СЕ и КЕ.
Составим пропорцию и решим ее:
АС : КМ = СЕ : КЕ
АС = КМ · СЕ / КЕ
АС = 10 · 14 / 7 = 20
НеправильноРассм. ∆АЕС и ∆КЕМ.
Поскольку АКМС вписан в окружность, то
Т.к. углы СМК и КМЕ смежные, то
Видим, что в этих уравнениях фигурирует один и тот же угол – КМС. Поскольку его сумма с углом А и углом КМЕ в обоих случаях равна 1800, значит,
Итак, равенство одной пары углов в треуг-ках доказано.
Плюс в этих треугольниках имеется общий угол – К. Следовательно, по 1-му признаку подобия (по 2-м углам) ∆АЕС подобен ∆КЕМ. Вывод: его соответствующие стороны пропорциональны. В нашем случае используем стороны: 1) АС и КМ; 2) СЕ и КЕ.
Составим пропорцию и решим ее:
АС : КМ = СЕ : КЕ
АС = КМ · СЕ / КЕ
АС = 10 · 14 / 7 = 20
Подсказка
Рассматриваем треугольники АЕС и КЕМ. Доказываем, что они подобны (по общему углу и углам ЕАС и КМЕ). Далее составляем пропорцию из соответствующих сторон – известных по условию и искомой.
- Задание 9 из 10
9.
9. Дан треугольник АВК. Проведена окружность, центр которой лежит на стороне АК. Окружность проходит через вершину К треугольника и касается его стороны АВ в точке В. Диаметр окружности составляет 8,4, сторона ВК равна 4. Вычислите АК.
ПравильноСделаем рисунок к задаче:
Сразу зафиксируем, что искомая величина АК равна:
АК = АО + КО .
Здесь АО – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на ее линии. Поэтому
АО = R = d / 2 .
По условию d = 8,4, поэтому
АО = 8,4 / 2 = 4,2 .
Найдем КО.
Для этого рассм. ∆ОВК. Он прямоугольный, поскольку ВК – касательная, а следовательно, ВК ḻ ВО.
Тогда по т.Пифагора
ВО2 + ВК2 = КО2 .
Отсюда:
КО2 = R2 + 42 = (d/2)2 + 42 = 4,22 + 42 = 17,64 + 16 = 33,64 ;
KO = √33,64 = 5,8 .
Получаем:
АК = 4,2 + 5,8 = 10 .
НеправильноСделаем рисунок к задаче:
Сразу зафиксируем, что искомая величина АК равна:
АК = АО + КО .
Здесь АО – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на ее линии. Поэтому
АО = R = d / 2 .
По условию d = 8,4, поэтому
АО = 8,4 / 2 = 4,2 .
Найдем КО.
Для этого рассм. ∆ОВК. Он прямоугольный, поскольку ВК – касательная, а следовательно, ВК ḻ ВО.
Тогда по т.Пифагора
ВО2 + ВК2 = КО2 .
Отсюда:
КО2 = R2 + 42 = (d/2)2 + 42 = 4,22 + 42 = 17,64 + 16 = 33,64 ;
KO = √33,64 = 5,8 .
Получаем:
АК = 4,2 + 5,8 = 10 .
Подсказка
Делаем рисунок, иллюстрирующий условие.
Рассматриваем треугольник, образованный: 1) касательной АВ; 2) радиусом ВО (О – точка центра окружности); 3) отрезком АО. Доказываем, что этот треуг-к прямоугольный.
По т.Пифагора находим АО.
Определяем АО как сумму отрезков АО и СО.
- Задание 10 из 10
10.
10. Дан вписанный в окружность четырехугольник АВСР. В нем проведены диагонали. При этом угол САР составляет 320, угол АВР – 160. Определите (в градусах) величину угла АВС.
Правильно
Угол АВС, который требуется определить, опирается на дугу АС. Эта дуга является суммой дуг АР и РС, т.е.
ᴗАС = ᴗАР + ᴗРС.
Из рисунка видно, что на дугу АР опирается угол АВР, на дугу РС – угол РАС (обозначено, соответственно, зеленым и красным). Имеется св-во дуги, опирающейся на угол: ее величина вдвое больше величины угла, который на нее опирается.
По условию, угол АВР составляет 160, угол РАС – 320. Соответственно, имеем:
ᴗАР = 2 · 160 = 320 ;
ᴗРС = 2 · 320 = 640 .
Отсюда:
ᴗАС = 320 + 640 = 960 .
Применив теперь то же св-во дуги для ᴗАС и опирающегося на нее угла АВС, получим:
НеправильноУгол АВС, который требуется определить, опирается на дугу АС. Эта дуга является суммой дуг АР и РС, т.е.
ᴗАС = ᴗАР + ᴗРС.
Из рисунка видно, что на дугу АР опирается угол АВР, на дугу РС – угол РАС (обозначено, соответственно, зеленым и красным). Имеется св-во дуги, опирающейся на угол: ее величина вдвое больше величины угла, который на нее опирается.
По условию, угол АВР составляет 160, угол РАС – 320. Соответственно, имеем:
ᴗАР = 2 · 160 = 320 ;
ᴗРС = 2 · 320 = 640 .
Отсюда:
ᴗАС = 320 + 640 = 960 .
Применив теперь то же св-во дуги для ᴗАС и опирающегося на нее угла АВС, получим:
Подсказка
Констатируем, что искомый угол опирается на дугу АС. Она разбивается точкой Р на две дуги – АР и РС.
Используем св-во углов в окружности: если угол опирается на дугу, то его величина вдвое меньше величины этой дуги. Отсюда определяем величины дуг АР и РС как опирающихся на соответствующие углы, данные в условии.
Находим величину дуги АС, сложив величины дуг АР и РС. Вычисляем угол АВС как половину величины дуги АС.
