Дополняем рисунок. Проводим прямую через тт. М и Р. Затем проводит отрезок КА. Он должен быть перпендикулярным МР, поскольку расстояние от точки до прямой есть перпендикуляр к ней. Отрезок КА как раз и является искомым расстоянием.

Обратим внимание, что КА проходит строго по одной из границ горизонтальной последовательности квадратов. Значит, отрезок можно условно разбить на одинаковые части, каждая из которых равна длине стороны квадрата. Из рисунка видно, что таких частей 6. Т.к. размер стороны каждого квадрата равен 1, то длина отрезка составляет:

6 · 1 = 6 .

Ср.линия = половине длины стороны треуг-ка, параллельно которой она проведена.

Измеряем длину АС. Для этого нужно подсчитать кол-во клеток, по стороне которых этот отрезок проходит, и умножить его на размер стороны квадрата. Поскольку АС проходит через 8 квадратов, то получаем:

8 · 1 = 8 .

Тогда ср.линия равна:

8 : 2 = 4 .

Применим для вычисления площади ф-лу:

S = a · h / 2 .

В качестве а используем горизонтальную сторону (на рисунке обозначено зеленым), в качестве h – перпендикуляр, опущенный на эту сторону из верхней вершины треуг-ка (на рисунке – красным):

Определим по рисунку длины необходимых для расчета элементов:

сторона а : 8 клеток по 1 ед.длины = 8;

высота h : 5 клеток по 1 ед.длины = 5.

Тогда площадь равна:

S = 8 · 5 / 2 = 20.

Меньшее (верхнее) основание проходит через 5 квадратов сетки, большее (нижнее) – через 9. Найдем длины этих отрезков:

5 · 1 = 5 ,

9 · 1 = 9 .

Проведем в трапеции высоту:

Найдем длину высоты:

5 сторон квадратов х 1 ед.длины = 5 .

Площадь трапеции вычислим по ф-ле:

S = (a + b) · h / 2 .

В нашем случае а = 5, b = 9, h = 5 .

Подставим эти данные в формулу и вычислим площадь:

S = (5 + 9) · 5 / 2 = 35 .

Проводим в параллелограмме высоту (красным):

Определяем длину отрезка горизонтальной стороны. Для этого подсчитываем кол-во клеток, по сторонам которых проходит сторона. Их – 5. Умножаем это кол-во на размер стороны клетки. Получим длину стороны:

5 · 2 = 10 .

По аналогии определяем высоту:

2 · 2 = 4 .

Ф-ла площади параллелограмма:

S = a · h .

Вычисляем площадь:

S = 10 · 4 = 40 .

Т.к. все квадраты сетки одинаковы, то для получения результата достаточно найти площадь одного из них (обозначим ее как S₀) и кол-во таких квадратов, ограниченных жирным контуром (N).

Имеем для площади одного квадрата:

S₀ = 2 · 2 = 4 .

В контуре фигуры подсчитаем слева направо столбцы с квадратами:

N = 1 + 1 + 3 + 1 + 2 = 8 .

Искомая площадь:

S = S₀ · N = 4 · 8 = 32 .

Проводим перпендикуляр из т.В на прямую ОА. Получаем прямоуг. ∆ОА:

Определяем длины его катетов. Для этого подсчитываем кол-во клеток, по сторонам которых эти отрезки проходят, и умножаем эти числа на 1, т.е. на размер стороны клетки:

ОА = 8 · 1 = 8 ;

АВ = 6 · 1 = 6 .

Если ∆ОАВ прямоугольный, то можем применить т.Пифагора:

ОВ² = ОА² + АВ² →  ОВ² = 8² + 6² = 100  →  ОВ = 10 .

Проведем перпендикулярный отрезок к стороне ОА. Получим прямоуг.треугольник ОСВ:

Определим по клеткам длины катетов треугольника ВС и ОС. В качестве длины примем кол-во клеток, по сторонам которых проходит катет. Размер клетки и единица измерения длины значения не имеют, поскольку для нахождения синуса будем делить один катет  на другой.

Итак: ВС = 4, ОС = 5.

Теперь найдем тангенс угла СОВ, который является и углом АОС:

tg AOC = tg COB = 4 / 5 = 0,8 .

Вертикальный катет треугольника проходит через 5 клеток сетки, горизонтальный – через 8 клеток. Значит длины катетов таковы:

5 · 1 = 5 ;

8 · 1 = 8 .

Отсюда видим, что горизонтальный катет больше на 8 – 5 = 3 ед.длины. Следовательно, для ответа нужно взять число 8.

Дополняем рисунок диагоналями внутри ромба:

Горизонтальная (красная) диагональ равна 10.

Вертикальная (зеленая) диагональ составляет 6.

Значит, большая диагональ ромба равна 10.