Задание №13 ЕГЭ по математике базового уровня


Наглядная стереометрия


В 13 задании ЕГЭ базового уровня мы будем иметь дело с задачами по стереометрии, но не абстрактными, а наглядными примерами. Это могут быть задачи на уровень жидкости в сосудах, которую я разобрал ниже, или же задачи на модификации фигуры — например, у которой отрезали вершины. Нужно быть готовым к решению простых задач по стереометрии — они обычно сводятся сразу к задачам на плоскости, необходимо только правильно посмотреть на чертеж.


Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике базового уровня


Вариант 13МБ1

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в 4 раза больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Алгоритм выполнения:
  1. Записать формулу объема цилиндра.
  2. Подставить значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае.
  3. Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы.
  4. Полученное уравнение решить относительно второй высоты h2.
  5. Подставить данные и вычислить искомую величину.
Решение:

Запишем формулу объема цилиндра.

Если вы забыли формулу объема цилиндра, то напомню, как ее можно легко вывести. Объем простых фигур, таких как куб и цилиндр, можно вычислить умножив площадь основания на высоту. Площадь основания в случае с цилиндром равна площади окружности, которую, вы, наверняка помните: π • r2.

Следовательно, объем цилиндра равен π • r2 • h

Подставим значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае.

V1 = π r1 2 h1

V2 = π r2 2 h2

Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы.

V1 = V2

Левые части равны, значит можно приравнять и правые.

π r1 2 h1 = π r2 2 h2

Полученное уравнение решим относительно второй высоты h2.

h2 – неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.

h2 =( π r1 2 h1)/ π r2 2

По условию площадь основания стала в 4 раза больше, то есть r2 = 4 r1 .

Подставим r2 = 4 r1 в выражение для h1.

Получим: h2 =( π r1 2 h1)/ π (4 r1) 2

Полученную дробь сократим на π, получим h2 =( r1 2 h1)/ 16 r1 2

Полученную дробь сократим на r1, получим h2 = h1/ 16.

Подставим известные данные: h2 = 80/ 16 = 5 см.

Ответ: 5.


Вариант 13МБ2

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

image001

Алгоритм выполнения:
  1. Записать формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.
  2. Записать в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.
  3. Найти отношение объемов.
  4. Преобразовать полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.
  5. Сократить получившуюся дробь.
Решение:

Запишем формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.

V = a · b · c

Запишем в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.

V1 = a1 · b1 · c1

V2 = a2 · b2 · c2

Найдем отношение объемов.

V1 / V2 = (a1 · b1 · c1)/ ( a2 · b2 · c2)

Преобразуем полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.

По условию c1 = 4,5 c2 (первая коробка в четыре с половиной раза выше второй),

b2 = 3 b1 (вторая коробка втрое шире первой).

Так как это правильные четырехугольные призмы, то в основании лежит квадрат, а значит глубина второй коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть a2 = 3 a1

Подставим эти выражения в формулу отношения объемов:

V1 / V2 = (a1 · b1 · c1)/ ( a2 · b2 · c2) = (a1 · b1 · 4,5c2)/ ( 3a1 · 3b1 · c2) = (a1 · b1 · 4,5c2)/ ( 9a1 · b1 · c2)

Сократим получившуюся дробь на a1 · b1 · c2. Получим:

V1 / V2 = (a1 · b1 · 4,5c2)/ ( 9a1 · b1 · c2) = 4,5/9 = ½.

Объем первой коробочки в 2 раза меньше объема второй.

Ответ: 2.


Вариант 13МБ3

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в полтора раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

image001

Алгоритм выполнения:
  1. Записать формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.
  2. Записать в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.
  3. Найти отношение объемов.
  4. Преобразовать полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.
  5. Сократить получившуюся дробь.
Решение:

Запишем формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.

V = a · b · c

Запишем в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.

V1 = a1 · b1 · c1

V2 = a2 · b2 · c2

Найдем отношение объемов.

V1 / V2 = (a1 · b1 · c1)/ ( a2 · b2 · c2)

Преобразуем полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.

По условию c1 = 1,5 c2 (первая коробка в полтора раза выше второй), b2 = 3 b1 (вторая коробка втрое шире первой).

Так как это правильные четырехугольные призмы, то в основании лежит квадрат, а значит глубина второй коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть a2 = 3 a1

Подставим эти выражения в формулу отношения объемов:

V1 / V2 = (a1 · b1 · c1)/ ( a2 · b2 · c2) = (a1 · b1 · 1,5c2)/ ( 3a1 · 3b1 · c2) = (a1 · b1 · 1,5c2)/ ( 9a1 · b1 · c2)

Сократим получившуюся дробь на a1 · b1 · c2. Получим:

V1 / V2 = (a1 · b1 · 1,5c2)/ ( 9a1 · b1 · c2) = 1,5/9 = 15/(10 · 9) = 3/(2 · 9) = 1/ (2 · 3) = 1/6.

Объем первой коробочки в 6 раза меньше объема второй.

Ответ: 6.


Вариант 13МБ4

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?ЕГЭ по математике задание №13

Сначала вспомним сколько всего граней и вершин у куба: шесть граней и восемь вершин. Теперь на месте каждой вершины образуется новая грань после отпила, значит у модифицированного в задании куба шесть родных граней и восемь новых (после отпила). Итого получаем: 6 + 8 = 14 граней.

Ответ: 14.

Если бы нас спросили, а сколько вершин у нового «куба». Очевидно, если вместо одной становится три, а их всего восемь, то получаем: 8 • 3 = 24


Вариант 13МБ5

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго – 6 и 4. Во сколько раз объем второго цилиндра больше объема первого?

C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5280.49082\Рисунки к Базе №13\1.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Записываем ф-лу для вычисления объема цилиндра.
  2. Вводим обозначения для радиуса основания и высоты 1-го цилиндра. Выражаем подобным образом аналогичные параметры 2-го цилиндра.
  3. Формируем формулы для объема 1-го и 2-го цилиндров.
  4. Вычисляем отношение объемов.
Решение:

Объем цилиндра равен: V=πR2H. Обозначим радиус основания 1-го цилиндра через R1, а его высоту – через Н1. Соответственно, радиус основания 2-го цилиндра обозначим через R2, а высоту – через Н2.

Отсюда получим: V1=πR12H1, V2=πR22H2.

Запишем искомое отношение объемов:

.

Подставляем в полученное отношение числовые данные:

.

Вывод: объем 2-го цилиндра больше объема 1-го в 6 раз.


Вариант 13МБ6

В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объем детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5280.486\Рисунки к Базе №13\2.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Вводим обозначения для объема до погружения детали и после. Пусть это будет соответственно V1 и V2.
  2. Фиксируем значение для V1. Выражаем V2 через V1. Находим значение V2.
  3. Переводим результат, полученный в литрах, в куб.см.
Решение:

Объем бака до погружения V1=5 (л). Т.к. после погружения детали объем стал равным V2. Согласно условию, увеличение составило 1,4 раза, поэтому V2=1,4V1.

Отсюда получаем: V2=1,4·5=7 (л).

Т.о., разница объемов, которая и составляет объем детали, равна:

V2–V1=7–5=2 (л).

2 л=2·1000=2000 (куб.см).


Вариант 13МБ7

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h=80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.

C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5280.1444\Рисунки к Базе №13\3.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Записываем ф-лу для расчета объема цилиндра.
  2. На основании этой формулы записываем 2 уравнения – для вычисления объема воды в 1-м и 2-м сосудах. Для этого используем в формуле соответствующие индексы 1 и 2.
  3. Поскольку воду просто переливают их одного сосуда в другой, то ее объем не изменяется. Поэтому приравниваем полученные уравнения. Из полученного единственного уравнения находим уровень воды во 2-м сосуде, выраженный высотой h2.
Решение:

Объем цилиндра равен: V=Sоснh=πR2h.

Объем воды в 1-м сосуде: V1=πR12h1.

Объем во 2-м сосуде: V2=πR22h2.

Приравниваем V1 и V2: πR12h1=πR22h2.

Сокращаем на π, выражаем h2:

 .

По условию R2=2R1. Отсюда:

.


Вариант 13МБ8

От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все ее вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5280.2439\Рисунки к Базе №13\4.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Определяем количество вершин у треугольной призмы.
  2. Анализируем изменения, которые произойдут при отпиливании всех вершин. Подсчитываем кол-во вершин у нового многогранника.
Решение:

Вершины призмы формируют вершины оснований (верхнего и нижнего). Поскольку основаниями правильной треугольной призмы являются правильные треугольники, то вершин у такой призмы 3·2=6 штук.

Спилив вершины призмы, получим вместо них небольшие (по сравнению с размерами самой призмы) треугольники. Это отображено и на рисунке. То есть вместо каждой вершины образуется 3 новых. Следовательно, их кол-во станет равным: 6·3=18.


Вариант 13МБ9

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырехугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре с половиной раза ниже второй, а вторая второе уже первой. Во сколько раз объем первой коробки больше объема второй?

C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5280.3628\Рисунки к Базе №13\5.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Вводим обозначения для линейных параметров коробок и их объемов.
  2. Определяем зависимость линейных параметров согласно условию.
  3. Записываем формулу для вычисления объема призмы.
  4. Адаптируем эту формулу для объемов коробок.
  5. Находим отношение объемов.
Решение:

Т.к. форма коробок – правильная призма, то в их основании лежат квадраты. Поэтому можем обозначить длину и ширину каждой коробки одинаково. Пусть для первой коробки это а1, а для второй а2. Высоты коробок обозначим соответственно h1 и h2. Объемы – V1 и V2.

Согласно условию, h2=4,5h1, а1=3а2.

Объем призмы равен: V=Sоснh. Т.к. в основании коробок лежит квадрат, то Sосн2. Отсюда: V=a2h.

Для 1-й коробки имеем: V1=a12h1. Для 2-й коробки: V2=a22h2.

Тогда получаем отношение:

Ответ: 2


Вариант 13МБ10

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ½ высоты. Объем сосуда 1600 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5280.4767\Рисунки к Базе №13\6.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Доказываем, что данные в условии конусы подобны.
  2. Определяем коэффициент подобия.
  3. Используя свойство для объемов подобных тел, находим объем жидкости.
Решение:

Если рассматривать сечение конуса по двум его противоположно расположенным образующим (осевое сечение), то видим, что полученные таким способом треугольники большого конуса и малого (образованного жидкостью) подобны. Это следует из равенства их углов. Т.е. имеем: у конусов подобны высоты и радиусы основания. Отсюда делаем вывод: т.к. линейные параметры конусов подобны, то и конусы подобны.

По условию высота малого конуса (жидкости) составляет ½ высоты конуса. Значит, коэффициент подобия малого и большого конусов равен ½.

Применяем св-во подобия тел, которое заключается в том, их объемы относятся как коэффициет подобия в кубе. Обозначим объем большого конуса V1, малого – V2. Получим:

.

Поскольку по условию V1=1600 мл, то V2=1600/8=200 мл.


Вариант 13МБ11

Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз объем большего шара больше объема меньшего?

C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5280.5777\Рисунки к Базе №13\7.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Записываем формулу для вычисления объема шара.
  2. Адаптируем формулу для каждого из шаров. Для этого используем индексы 1 и 2.
  3. Записываем отношение объемов, вычисляем его, подставив числовые данные из условия.
Решение:

Объем шара вычисляется по ф-ле: .

Отсюда объем 1-го (большего) шара равен , 2-го (меньшего) шара – .

Составим отношение объемов:

Подставляем в полученную формулу числовые данные из условия:

Вывод: объем большего шара в 64 раза больше.


Вариант 13МБ12

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго – 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго?

C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5280.7107\Рисунки к Базе №13\8.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Записываем формулу для определения площади бок.поверхности цилиндра.
  2. Переписываем ее дважды с использованием соответствующих индексов – для 1-го (большего) и 2-го (меньшего) цилиндров.
  3. Находим отношение площадей. Вычисляем отношения, используя числовые данные из условия.
Решение:

Площадь бок.поверхности цилиндра вычисляется так: S=2πRH.

Для 1-го цилиндра имеем: S1=2πR1H1. Для 2-го цилиндра: S2=2πR2H2.

Составим отношение этих площадей:

Найдем числовое значение полученного отношения:

Вывод: площадь боковой поверхности 1-го цилиндра больше в 12 раз.


Вариант 13МБ13

Однородный шар диаметром 3 см весит 162 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?

C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5280.13182\Рисунки к Базе №13\9.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Записываем формулу для определения массы большего шаров через плотность и объем.
  2. Объем в этой формуле расписываем через ф-лу объема шара (через его радиус).
  3. Записываем ф-лу для массы меньшего шара, расписываем объем через радиус (по аналогии с пп.1 и 2).
  4. Поскольку оба шара изготовлены из одного и того же материала, то найденное значение для плотности можем использовать в ф-ле для массы меньшего шара. Вычисляем искомую массу.
Решение:

Масса большего (1-го) шара равна: m1=ρV1. Объем этого шара составляет V1=(4/3)πR13. Отсюда получаем: m1=(4/3)πρR13. Из этого уравнения выразим плотность: .

Масса меньшего (2-го) шара равна: m2V2. Объем шара: V2=(4/3)πR23. В ур-ние для m2 подставим выражения для ρ и V2. Получаем:

Вычисляем m2:


Вариант 13МБ14

В бак, имеющий форму правильной четырехугольной призмы со стороной основания, равной 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объем детали сложной формы, ее полностью погружают в эту жидкость. Найдите объем детали, если после ее погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5280.14234\Рисунки к Базе №13\10.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Определяем часть призмы, соответствующую объему погруженной детали.
  2. Вычисляем объем детали на основании формулы для определения объема прямой призмы с квадратом в основании.
Решение:

Погруженная в жидкость деталь занимает объем, соответствующий столбу жидкости, высота которого равна 10 см, т.е. разнице, возникшей между начальной высотой жидкости и конечной (после погружения). Это означает, что деталь имеет объем, равный части жидкости, занимающей объем 40х40х10 (см).

Найдем этот объем:

V=40·40·10=16000 (см3).

image_pdfСкачать PDFimage_printРаспечатать

Даниил Романович

Автор статей и модератор разделов сайта.