Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня

---

Неравенства

---

В задании №15 профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо решить неравенство. Чаще всего неравенство связано с логарифмами или степенными выражениями. Для успешного выполнения необходимо хорошо оперировать данными выражениями.

---

Разбор типовых вариантов заданий №15 ЕГЭ по математике профильного уровня

---

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

[su_note note_color=»#defae6″]

Решите неравенство:

[/su_note]

Алгоритм решения:

1. Вводим подстановку.
2. Записываем выражение неравенства в ином виде.
3. Решаем неравенство.
4. Возвращаемся к подстановке.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Вводим замену  t = 3^x . Тогда исходное неравенство примет вид:

2. Преобразуем его:

3. Отсюда получаем решение t ≤ 3; 5 < t < 9.

4. Возвратимся к переменной х.

При t ≤ 3 получим: 3^x ≤ 3 , следовательно x ≤ 1

При 5 < t < 9 получим: 5 < 3x < 9, следовательно log₃5 < x < 2.

5. Решение исходного неравенства:  x ≤ 1 и log₃5 < x < 2.

Ответ: (-∞;1] (log₃5;2)

---

Второй вариант задания (из Ященко, №1)

[su_note note_color=»#defae6″]

Решите неравенство .

[/su_note]

Алгоритм решения задания:

1. Вводим замену.
2. Записываем неравенство в новом виде.
3. Решаем неравенство.
4. Возвращаемся к переменной х.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Вводим замену t = 3^x.

2. Тогда неравенство примет вид:

3. Решаем его:

Отсюда t < 0; t = 2; t> 3.

4. Возвращаемся к переменной х.

При t < 0 получаем:

,

откуда 0 < x < 1.

При t = 2 получаем:

,

откуда x = 9.

При t > 3 получаем:

,

откуда x > 27.

5. Решения исходного неравенства:

.

Ответ: .

---

Третий вариант (Ященко, № 5)

[su_note note_color=»#defae6″]

Решите неравенство

[/su_note]

Алгоритм решения:

1. Находим ОДЗ выражения в неравенстве.
2. Преобразуем неравенство к иному виду.
3. Вводим замену и решаем новое неравенство.
4. Возвращаемся к переменной х.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Запишем ОДЗ: .

log₂х-5≠0, log₂х≠5, х≠32

2. Преобразуем неравенство:

или

Получаем новое неравенство:

.

Вводим замену , тогда неравенство принимает новый вид. И его легко решить:

Размещаем полученные решения на числовую ось:

Возвращаемся к переменной х. Рассмотрим два случая:

Ответ: