Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня

---

Неравенства

---

В задании №15 профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо решить неравенство. Чаще всего неравенство связано с логарифмами или степенными выражениями. Для успешного выполнения необходимо хорошо оперировать данными выражениями.

---

Разбор типовых вариантов заданий №15 ЕГЭ по математике профильного уровня

---

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

[su_note note_color=»#defae6″] Решите неравенство: [/su_note]

Алгоритм решения:

1. Вводим подстановку.
2. Записываем выражение неравенства в ином виде.
3. Решаем неравенство.
4. Возвращаемся к подстановке.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Вводим замену  t = 3^x . Тогда исходное неравенство примет вид: 2. Преобразуем его: 3. Отсюда получаем решение t ≤ 3; 5 < t < 9. 4. Возвратимся к переменной х. При t ≤ 3 получим: 3^x ≤ 3 , следовательно x ≤ 1 При 5 < t < 9 получим: 5 < 3x < 9, следовательно log₃5 < x < 2. 5. Решение исходного неравенства:  x ≤ 1 и log₃5 < x < 2. Ответ: (-∞;1] (log₃5;2)

---

Второй вариант задания (из Ященко, №1)

[su_note note_color=»#defae6″] Решите неравенство . [/su_note]

Алгоритм решения задания:

1. Вводим замену.
2. Записываем неравенство в новом виде.
3. Решаем неравенство.
4. Возвращаемся к переменной х.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Вводим замену t = 3^x. 2. Тогда неравенство примет вид: 3. Решаем его: Отсюда t < 0; t = 2; t> 3. 4. Возвращаемся к переменной х. При t < 0 получаем: , откуда 0 < x < 1. При t = 2 получаем: , откуда x = 9. При t > 3 получаем: , откуда x > 27. 5. Решения исходного неравенства: . Ответ: .

---

Третий вариант (Ященко, № 5)

[su_note note_color=»#defae6″] Решите неравенство [/su_note]

Алгоритм решения:

1. Находим ОДЗ выражения в неравенстве.
2. Преобразуем неравенство к иному виду.
3. Вводим замену и решаем новое неравенство.
4. Возвращаемся к переменной х.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Запишем ОДЗ: .

log₂х-5≠0, log₂х≠5, х≠32

2. Преобразуем неравенство: или Получаем новое неравенство: . Вводим замену , тогда неравенство принимает новый вид. И его легко решить: Размещаем полученные решения на числовую ось: Возвращаемся к переменной х. Рассмотрим два случая: Ответ: