Задание №16 ЕГЭ по математике профильного уровня
Планиметрия
В 16 задании профильного уровня ЕГЭ по математике — задача геометрическая, а именно планиметрическая. Уровень сложности высокий по шкале ЕГЭ и школьной геометрии, поэтому приступать к этому заданию необходимо с хорошей подготовкой. Я рекомендую приступать к задаче тем, кто более чем на 5 знает геометрию. Итак, приступим к рассмотрению одного из вариантов.
Разбор типовых вариантов заданий №16 ЕГЭ по математике профильного уровня
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)
[su_note note_color=»#defae6″]Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
[/su_note]Алгоритм решения:
а)- Выполняем рисунок.
- Используем свойство касательной для определения вида треугольника
- Показываем, что AD и BC параллельны.
- Вводим определенность относительно радиусов окружностей. И доказываем подобие треугольников ВКС и АКD.
- Определяем отношение площадей.
- Определяем искомую площадь.
Решение:
а) 1. Выполняем рисунок, учитывая условие задачи.
Пусть О1 и О2 центры данных окружностей, а М – точка пересечения общей касательной и касательной, проведенной в к окружностям в точке К.
2. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM=KM и. KM=BN. Треугольник у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.
3. Вписанный угол ∠AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD Значит, AD⊥AB. Аналогично получаем, что BC⊥AB Следовательно, прямые AD и BC параллельны. б) 1. Пусть радиус первой окружности равен 4, тогда радиус второй 1. Рассмотрим треугольники BKC и AKD .








Второй вариант (Из Ященко,№1)
[su_note note_color=»#defae6″]В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.
а) Докажите, что ВМ = СМ.
б) Найдите угол ЛВС, если угол BCD равен 64°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.
[/su_note]Алгоритм решения:
а)- Выполняем рисунок, исходя из условия.
- Устанавливаем соотношения между величинами.
- Делаем вывод
- Проводим перпендикуляр к стороне ВС.
- Устанавливаем необходимые соответствия.
- Определяем искомую величину угла.
Решение:
а) 1. Выполняем рисунок, исходя из условия.
2. Прямые АВ и CD по условию пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой L. Тогда треугольник BLC подобен ALD, причем, коэффициент подобия равен 2, потому как ВС = 2AD. Значит, А и D являются серединами сторон BL и CL соответственно.
Тогда AM и DM — серединные перпендикуляры к сторонам треугольника BLC. Из этого вытекает, что М — центр окружности, описанной около него окружности.
3. Значит, BM = CM как радиусы этой окружности б)1. Пусть Н — середина ВС, тогда МН является серединным перпендикуляром к ВС. Тогда треугольники ВНМ и СНМ являются равнобедренными и прямоугольными. Потому ∠BCM=90° .
2. По свойству вписанного угла
