Задание EF17758 • СПАДИЛО

Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре T₁=600 K и давлении p₁=4⋅10⁵ Па, расширяется и одновременно охлаждается так, что его температура при расширении обратно пропорциональна объёму. Конечное давление газа p₂=10⁵ Па. Какое количество теплоты газ отдал при расширении, если при этом он совершил работу A=2493 Дж?

📜Теория для решения: Внутренняя энергия и работа идеального газа Первое начало термодинамики

Посмотреть решение

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Записать уравнение состояния идеального газа.

3.Записать формулу для расчета внутренней энергии газа.

4.Используя первое начало термодинамики, выполнить общее решение задачи.

5.Подставив известные данные, вычислить неизвестную величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Начальная температура газа: T₁ = 600 К.

• Начальное давление: p₁ = 4∙10⁵ Па.

• Конечное давление: p₂ = 10⁵ Па.

• Работа, совершенная газом: A = 2493 Дж.

Аргон является одноатомным газом. Поэтому для него можно использовать уравнение состояния идеального газа:

$p V = ν R T$

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа пропорциональна температуре:

$U = \frac{3}{2} ν R T$

Внутренняя энергия аргона до расширения и после него:

$U_{1} = \frac{3}{2} ν R T_{1}$

$U_{2} = \frac{3}{2} ν R T_{2}$

Согласно условию задачи, температура при расширении обратно пропорциональна объёму. Следовательно:

$T = \frac{c o n s t}{V}$

$T_{1} V_{1} = T_{2} V_{2}$

Выразим конечную температуру:

$T_{2} = \frac{T_{1} V_{1}}{V_{2}}$

Составим уравнение состояния газа для состояний аргона 1 и 2:

$p_{1} V_{1} = ν R T_{1}$

$p_{2} V_{2} = ν R T_{2}$

Отсюда:

$ν R = \frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{2} V_{2}}{T_{2}}$

Отсюда отношение объема аргона в состоянии 1 к объему газа в состоянии 2 равно:

$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{p_{2} T_{1}}{p_{1} T_{2}}$

Подставим это отношение в формулу для конечной температуры:

$T_{2} = \frac{T_{1} V_{1}}{V_{2}} = \frac{p_{2} {T_{1}}_{1}^{2}}{p_{1} T_{2}}$

Отсюда:

$T_{2} = T_{1} \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}}$

Отсюда внутренняя энергия газа в состоянии 2 равна:

$U_{2} = \frac{3}{2} ν R T_{1} \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}}$

Уменьшение внутренней энергии аргона составило (изначально она была выше):

$Δ U = U_{1} - U_{2} = \frac{3}{2} ν R T_{1} - \frac{3}{2} ν R T_{1} \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}} = \frac{3}{2} ν R T_{1} (1 - \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}})$

В соответствии с первым началом термодинамики уменьшение внутренней энергии равно сумме совершённой работы и количества теплоты, отданного газом:

$Δ U = Q + A$

Следовательно, газ отдал следующее количество теплоты:

$Q = Δ U - A = \frac{3}{2} ν R T_{1} (1 - \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}}) - A$

Текст: Алиса Никитина, 785 👀