Внутренняя энергия и работа идеального газа

Определение

Числом степеней свободы механической системы называют количество независимых величин, с помощью которых может быть задано положение системы.

Внутренняя энергия идеального газа представляет собой сумму только кинетической энергии всех молекул, а потенциальной энергией взаимодействия можно пренебречь:

$U = \sum E_{k 0} = N E_{k 0} = \frac{m N_{A}}{M} \cdot \frac{k T}{2} = \frac{i}{2} \cdot \frac{m}{M} R T = \frac{i}{2} ν R T = \frac{i}{2} p V$

i — степень свободы. i = 3 для одноатомного (или идеального) газа, i = 5 для двухатомного газа, i = 6 для трехатомного газа и больше.

Изменение внутренней энергии идеального газа в изопроцессах

Основная формула	$Δ U = \frac{3}{2} \cdot \frac{m}{M} R T = \frac{3}{2} ν R T = \frac{3}{2} ν R (T_{2} - T_{1})$
Изотермический процесс	$Δ U = 0$ Температура при изотермическом процессе — величина постоянная. Так как внутренняя энергия идеального газа постоянной массы в замкнутой системе зависит только от изменения температуры, то она тоже остается постоянной.
Изобарное расширение	$Δ U = \frac{3}{2} ν R (T_{2} - T_{1}) = \frac{3}{2} (p V_{2} - p V_{1}) = \frac{3}{2} p Δ V$
Изохорное увеличение давления	$Δ U = \frac{3}{2} ν R (T_{2} - T_{1}) = \frac{3}{2} (p_{2} V - p_{1} V) = \frac{3}{2} V Δ p$
Произвольный процесс	$Δ U = \frac{3}{2} ν R (T_{2} - T_{1}) = \frac{3}{2} (p_{2} V_{2} - p_{1} V_{1})$

Пример №1. На рисунке показан график циклического процесса, проведенного с идеальным газом. На каком из участков внутренняя энергия газа уменьшалась?

Внутренняя энергия газа меняется только при изменении температуры. Так как она прямо пропорциональная температуре, то уменьшается она тогда, когда уменьшается и температура. Температура падает на участке 3.

Работа идеального газа

Если газ, находящийся под поршнем, нагреть, то, расширяясь, он поднимет поршень, т.е. совершит механическую работу.

Механическая работа вычисляется по формуле:

$A = F s cos . α$

Перемещение равно разности высот поршня в конечном и начальном положении:

$s = h_{2} - h_{1}$

Также известно, что сила равна произведению давления на площадь, на которое это давление оказывается. Учтем, что направление силы и перемещения совпадают. Поэтому косинус будет равен единице. Отсюда работа идеального газа равна произведению давления на площадь поршня:

Работа идеального газа

$F = p S$

p — давление газа, S — площадь поршня

Работа, необходимая для поднятия поршня — полезная работа. Она всегда меньше затраченной работы, которая определяется изменением внутренней энергии идеального газа при изобарном расширении:

$A^{‘} = p (V_{2} - V_{1}) = p Δ V > 0$

Внимание! Знак работы определяется только знаком косинуса угла между направлением силы, действующей на поршень, и перемещением этого поршня.

Работа идеального газа при изобарном сжатии:

$A^{‘} = p (V_{2} - V_{1}) = p Δ V < 0$

Работа идеального газа при нагревании газа:

$A^{‘} = ν R Δ T = ν R (T_{2} - T_{1}) = \frac{m}{M} ν R Δ T$

Внимание! В изохорном процессе работа, совершаемая газом, равна нулю, так как работа газа определяется изменением его объема. Если изменения нет, работы тоже нет.

Геометрический смысл работы в термодинамике

В термодинамике для нахождения работы можно вычислить площадь фигуры под графиком в осях (p, V).

Примеры графических задач

Изобарное расширение: $A^{‘} = p (V_{2} - V_{1})$ $A^{‘} > 0$
Изобарное сжатие: $A^{‘} = p (V_{2} - V_{1})$ $A^{‘} < 0$
Изохорное охлаждение: $V = c o n s t$ $A^{‘} = 0$
Изохорное охлаждение и изобарное сжатие: 1–2: $.$ $A^{‘} = 0$ 2–3: $A^{‘} = p Δ V < 0$
Замкнутый цикл: 1–2: $A^{‘} > 0$ 2–3: $A^{‘} = 0$ 3–4: $A^{‘} < 0$ 4–1: $A^{‘} = 0$ $A^{‘} = (p_{1} - p_{3}) (V_{2} - V_{1})$
Произвольный процесс: $A^{‘} = \frac{p_{1} + p_{2}}{2} (V_{2} - V_{1})$

Пример №2. На pV-диаграмме показаны два процесса, проведенные с одним и тем же количеством газообразного неона. Определите отношение работ A₂ к A₁ в этих процессах.

Неон — идеальный газ. Поэтому мы можем применять формулы, применяемые для нахождения работы идеального газа. Работа равна площади фигуры под графиком. С учетом того, что в обоих случаях изобарное расширение, получим:

$A_{2} = p (V_{2} - V_{1}) = 4 p (5 V - 3 V) = 4 p 2 V = 8 p V$

$A_{1} = p (V_{2} - V_{1}) = p (5 V - V) = 4 p V$

Видно, что работа, совершенная во втором процессе, вдвое больше работы, совершенной газом в первом процессе.

Задание EF17505

Идеальный одноатомный газ переходит из состояния 1 в состояние 2 (см. диаграмму). Масса газа не меняется. Как изменяются при этом следующие три величины: давление газа, его объём и внутренняя энергия?

Для каждой величины подберите соответствующий характер изменения:

1) увеличивается

2) уменьшается

3) не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Алгоритм решения

Определить по графику, как меняется давление.
Определить, как меняется объем.
Определить, отчего зависит внутренняя энергия газа, и как она меняется в данном процессе.

Решение

На графике идеальный одноатомный газ изотермически сжимают, так как температура остается неизменной, а давление увеличивается. При этом объем должен уменьшаться. Но внутренняя энергия идеального газа определяется его температурой. Так как температура постоянна, внутренняя энергия не изменяется.

Ответ: 123

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Задание EF17758

Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре T₁=600 K и давлении p₁=4⋅10⁵ Па, расширяется и одновременно охлаждается так, что его температура при расширении обратно пропорциональна объёму. Конечное давление газа p₂=10⁵ Па. Какое количество теплоты газ отдал при расширении, если при этом он совершил работу A=2493 Дж?

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Записать уравнение состояния идеального газа.

3.Записать формулу для расчета внутренней энергии газа.

4.Используя первое начало термодинамики, выполнить общее решение задачи.

5.Подставив известные данные, вычислить неизвестную величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Начальная температура газа: T₁ = 600 К.

• Начальное давление: p₁ = 4∙10⁵ Па.

• Конечное давление: p₂ = 10⁵ Па.

• Работа, совершенная газом: A = 2493 Дж.

Аргон является одноатомным газом. Поэтому для него можно использовать уравнение состояния идеального газа:

$p V = ν R T$

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа пропорциональна температуре:

$U = \frac{3}{2} ν R T$

Внутренняя энергия аргона до расширения и после него:

$U_{1} = \frac{3}{2} ν R T_{1}$

$U_{2} = \frac{3}{2} ν R T_{2}$

Согласно условию задачи, температура при расширении обратно пропорциональна объёму. Следовательно:

$T = \frac{c o n s t}{V}$

$T_{1} V_{1} = T_{2} V_{2}$

Выразим конечную температуру:

$T_{2} = \frac{T_{1} V_{1}}{V_{2}}$

Составим уравнение состояния газа для состояний аргона 1 и 2:

$p_{1} V_{1} = ν R T_{1}$

$p_{2} V_{2} = ν R T_{2}$

Отсюда:

$ν R = \frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{2} V_{2}}{T_{2}}$

Отсюда отношение объема аргона в состоянии 1 к объему газа в состоянии 2 равно:

$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{p_{2} T_{1}}{p_{1} T_{2}}$

Подставим это отношение в формулу для конечной температуры:

$T_{2} = \frac{T_{1} V_{1}}{V_{2}} = \frac{p_{2} {T_{1}}_{1}^{2}}{p_{1} T_{2}}$

Отсюда:

$T_{2} = T_{1} \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}}$

Отсюда внутренняя энергия газа в состоянии 2 равна:

$U_{2} = \frac{3}{2} ν R T_{1} \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}}$

Уменьшение внутренней энергии аргона составило (изначально она была выше):

$Δ U = U_{1} - U_{2} = \frac{3}{2} ν R T_{1} - \frac{3}{2} ν R T_{1} \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}} = \frac{3}{2} ν R T_{1} (1 - \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}})$

В соответствии с первым началом термодинамики уменьшение внутренней энергии равно сумме совершённой работы и количества теплоты, отданного газом:

$Δ U = Q + A$

Следовательно, газ отдал следующее количество теплоты:

$Q = Δ U - A = \frac{3}{2} ν R T_{1} (1 - \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}}) - A$

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Задание EF17966

Идеальный газ переводят из состояния 1 в состояние 3 так, как показано на графике зависимости давления газа от объёма. Работа, совершённая при этом газом, равна

Ответ:

а) р₀V₀

б) 2р₀V₀

в) 4р₀V₀

г) 6р₀V₀

Алгоритм решения

1.Определить, на каком участке графика совершается работа.

2.Записать геометрический смысл работы.

3.Извлекая данные из графика, вычислить работу, совершенную газом.

Решение

Работа совершается только тогда, когда газ меняет объем. Поэтому работа совершается только на участке 1–2.

Работа идеального газа равна площади фигуры, заключенной под графиком термодинамического процесса в координатах (p, V).

Давление газа при этом равно 2p₀, а объем равен разности 2V₀ и V₀. Следовательно, работа, совершенная газом, будет равна произведению:

$A = 2 p_{0} (2 V_{0} - V_{0}) = 2 p_{0} V_{0}$

Ответ: б

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алиса Никитина | Просмотров: 12.9k

Внутренняя энергия и работа идеального газа | теория по физике 🧲 термодинамика

Изменение внутренней энергии идеального газа в изопроцессах

Работа идеального газа

Геометрический смысл работы в термодинамике

2 комментариев

Добавить комментарий Отменить ответ